2011排列组合专题

1排列组合一、回顾2010年考试说明：通过实例总结出两个计数原理，能根据实例的特征选择计数原理解决实际问题。理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题。二、知识再现梳理1、17161554mnA，则n，m2、38C，810C=3、5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（）A.15种B.8种C.53种D.35种4、有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_____________种不同的可能．（用数字作答）【答案】18【解析】符合要求的有A44－A33=18种，或183313AA种三、知识点归纳1、两个计数原理2、排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：mnA=)!(!mnn=n·(n－1)…(n－m+1)；全排列：nnA=n!；3、组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm=)!(!!mnmn=12)1(1)m-(n1)-n(mmn；4、排列、组合数的性质及常用公式（1）mnnmnCC；（2）rnrnrnCCC11；（3）)!1(1!1)!1(nnnn，（4）11rnrnnCrC四、典题分析考点1：排列、组合的概念、公式、性质例1、设*Nx且10x，则)29()21)(20(xxx等于（D）（A）1020xA（B）xxA2029（C）929xA（D）1029xA例2、18321319203213452134131=___________解析：原式=2119202145213421232112；记2)1(nnan，数列{na}的前219项和即为所求。记数列{na}的前n项和为nS；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍用组合数性质求解：注意到2)1(nnan=21nC，19S=220242322CCCC=220242333CCCC=2202434CCC=…=321C=1330；考点2：排列组合应用题例1、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．解析：分三类：甲在周一，共有24A种排法；甲在周二，共有23A种排法；甲在周三，共有22A种排法．∴24A＋23A＋22A＝20.答案：20。经验总结：认真审题弄清要做什么事，怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题，元素总数是多少。变式：某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（）A．90个B．99个C．100个D．112个高考资源网【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C.例2、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有13C，然后排首位共有14C，最后排其它位置共有34A，由分步计数原理得13C14C34A=288。经验总结：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件3变式：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？5524AA=1440例3、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解析：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有222255AAA=480。经验总结：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.变式：记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）960AA224425AＡ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种例4、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A不同的方法由分步计数原理,节目的不同顺序共有4655AA。经验总结：元素相离问题可用插空法先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。变式：用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有个.解析：5762422222233AAAAA例5、某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.解析：(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：4466AA（空位法）设想有6把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有26A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有26A种方法。经验总结：定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。变式：由数字1，2，3，……9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格4递减（如“421”）顺序排列的数的个数是()A．120B．168C．204D．216【答案】B【解析】2C39=168。例6、4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A种，故共有234336CA种方法.经验总结：解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想，涉及到的分组问题要注意平均分组和不平均分组的区别。变式：某校安排6个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。解析：先将6个班分成3组，在将3个组分到3个工厂。6个班分成3组，从每组的人数看有3类：①4，1，1，有46C种；②3，2，1，有2336CC种，③2，2，2，有!3222426CCC种；故不同的安排方法共有：（46C+2336CC+!3222426CCC）×33A=540种。例7、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种,选.C解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470CCCC台,选C.经验总结：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素先分类再分步抽.变式：男运动员6名，女运动员4名，选派5人外出比赛至少有1名女运动员有多少种选派方法？解析：方法一至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246种.方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C510-C56=246种.例8、3个红色的球和5个黄色的球排成一列一共有多少种不同的排法？5解析：三个红色的球和5个黄色的球排成一列，一个球一个位置共需8个位置，可以从位置考虑排法，从8个位置中选3个位置放红球，其余位置放黄色球共有5638C种方法。经验总结：相同元素的排列问题要从位置来考虑排列方法变式：如图，某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有______种解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C种.例9、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种.经验总结：相同元素的分配问题要注意运用隔板法。变式：求方程10zyx的正整数解有多少组？那么非负整数解有多少组？解析：（1）把10分成10个1,10个1形成9个空位（不算两边），再将2个+号插入9个空位共有29C种方法。（2）10个1和2个+号共形成12个位置，在12个位置中选择2个位置，选好的2个位置填入+号，其余10个位置均填入1，如果+号选在两端位置则默认此时+号左端或右端为0故共有212C种方法。小结、1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.五、课后练习题一、选择题1、某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①26C；②665646362CCCC；③726；④26A．其中正确的结论是（）A．②和③B．仅有②C．仅有①D．仅有③2、从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有()A．120个B．300个C．240个D．108个3、某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()AB6(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种4、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．600B．520C．360D．7205、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种6、(2010·西宁模拟)用三种不同的颜色填涂右图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有()A．48B．24C．12D．67、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A