解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)

第一章解三角形系列丛书进入导航第一章解三角形第一章解三角形系列丛书进入导航1.2应用举例人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航第2课时高度、角度问题课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航1.巩固正、余弦定理等基本知识点．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解高度和角度问题.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航课主自前预习课前预习·········································明确目标人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航1．有关概念及术语新知初探人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航(1)如图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，_______________________叫仰角，_____________________叫俯角．视线在水平线上方的角视线在水平线下方的角人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航(2)①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南”，第二个“×”是“东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、__________、南偏东20°.西南方向人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航②方位角：___________________________________________________________叫方位角．从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航(3)如图(1)所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航如图(2)所示，把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即_______.i＝hl人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航2．高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用_______________计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．正弦或余弦定理人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航3．角度问题测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的___________，然后求角，再根据需要求所求的角．三角函数值人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航1．“视角”是“仰角”吗？思考感悟人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航2．方位角的范围是(0°，180°)吗？提示：不是．方位角的概念明确表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围已远远超过180°，而应该为(0°，360°)．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航课动互堂探究例练结合·········································素能提升人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航类型一底部不可到达的高度问题[例1]某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．典例导悟人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[解]依题意画出直观图(如图所示)．设某人在C点，AB为塔高，他沿CD前进，且CD＝40m．塔高AB为定值，要使仰角∠AEB最大，则BE必最小，故BE的长为点B到CD的距离．要求AB，必须先求BE，由于△DBE是直角三角形，可在△DBC中先求出DB或BC，这样BE可求，则问题可解．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航在△BDC中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°.由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝40sin30°sin135°＝202(m)．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，若要使仰角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝BD·sin∠BDE＝202sin15°＝10(3－1)(m)．在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10(3－1)tan30°＝103(3－3)(m)．∴塔的高度为103(3－3)m.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[点评]本题既有方向角，又有仰角，要注意运用空间想象作图，作出的示意图应是立体图，这是本题求解的一个关键；破解“沿途测得塔的最大仰角”是本题求解的第二个关键．已知塔与塔所在的平面是垂直的，这样就有了直角三角形，不但为求塔的高度提供了三角形模型，而且还顺利地找到了“最大的仰角”．在解三角形的实际应用问题中，弄清楚与测量有关的概念，在正确作出示意图的同时，还要注意有关简单的涉及空间图形的问题．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航变式训练1如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航解：在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)．∴BCsinβ＝ssin[180°－α＋β]，即BCsinβ＝ssinα＋β.∴BC＝sinβsinα＋β·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tanθ.∴AB＝BC·tanθ＝sinβ·tanθsinα＋β·s.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航类型二顶部不可到达的高度问题[例2]如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[分析]根据已知条件，应该先设法计算出AB的值，再在Rt△ABD中解得BD.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[解]在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，则BCsinα－β＝ABsin90°＋β，∴AB＝BCsin90°＋βsinα－β.在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝BCsin90°＋βsinαsinα－β人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航＝hsin90°＋βsinαsinα－β，∴CD＝BD－BC＝sin90°＋βsinα－sinα－βsinα－βh.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[点评]对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航变式训练2如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航解析：ED＝AB＝24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝24米，则AD＝DEsinβ＝24sin60°＝163(米)，则CD＝ADcos∠ADC＝ADcos30°＝16332＝32(米)．答案：32人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航类型三角度问题人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[例3]如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A，测得和山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ.[分析]设山对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD＝θ，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于θ的三角函数等式，进而解出θ角．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[解]在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100m，∴∠ACB＝30°，根据正弦定理有100sin30°＝BCsin15°，∴BC＝100sin15°sin30°.又在△BCD中，∵CD＝50，BC＝100sin15°sin30°，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航根据正弦定理有50sin45°＝100sin15°sin30°sin90°＋θ，解得cosθ＝3－1，∴θ≈42.94°.∴该山对于地平面的斜度的倾斜角约为42.94°.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航变式训练3某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(3＋1)，DC＝202，BC＝(3＋1)×102.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝32.∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量CD→的方向．即北偏西45°方向．答：台风向北偏西45°方向移动．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航易错点：不理解题意，找不出实际距离在具体实际问题中，不能准确理解题意，不能合理地构造出三角形，导致计算不准确，甚至无法求解．自我纠错人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航[错题展示]如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我国缉私船，奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．则缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．人教A版·数学·必修5第一章1.2第2课时系列丛书进入导航人教A版·数学·必修5第一章1.2