2.2.1综合法和分析法(2)

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法(2)•理解分析法的概念，了解分析法的思考过程和特点，能熟练地运用分析法证题．•本节重点:（1）了解分析法的思考过程和特点；（2）运用分析法证明数学问题。本节难点:对分析法的思考过程和特点的概括．学习目标：重点难点：一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。特点:“由因导果”复习回顾基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…例2求证5273证明:因为73和52都是正数,所以要证5273只需证22)52()73(展开得2021210只需证只需证5212521因为2521成立,所以5273成立.•[点评](1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；•(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；•(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．练习:P89第2题练习：•求证),1(11*Nnnnnnn证明:nnnn11要证只需证112nnn只需证12242nnn即证12nn因为1n12nn成立所以nnnn11成立.显然证法2要证nnnn11只需证nnnn1111只需证nnnn11只需证11nn上式显然成立.所以nnnn11成立.练习:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立•例3△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.•[分析]条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程就是综合法．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2，又因为角A、B、C成等差数列，所以B＝60°，[证明]分析法：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，只需证ca＋b＋ab＋c＝1，•由余弦定理，有•b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，•故c2＋a2＝ac＋b2得证．•综合法：•证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列，•∴B＝60°.•由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，•得c2＋a2＝ac＋b2，•等式两边同时加上ab＋bc得•c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，所以1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c成立等式两边同除以(a＋b)(b＋c)得，ca＋b＋ab＋c＝1，∴ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.作业：Ｐ91Ａ组3，Ｂ组3小结:教师引导学生总结分析法的思考过程和特点,关注用分析法证题时可能出现的错误.思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个