解决二次函数面积问题的技巧

膃求“半天吊”三角形面积技巧：袀如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。三角形面积的新方法:，蚇即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。蒃注意事项：1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;薂2.求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;薁3.根据公式:S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积。螈真题分析：如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B螆(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及;(3)在(2)中是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.羁解析：(1)由顶点C(1，4)，A（3,0）可以得出抛物线的解析式为：莁y1=-x²+2x+3，已知B点的坐标为(0，3)，薅所以直线AB的解析式为：y2=-x+3袄(2)因为C点坐标为(1，4)，把x=1代入y2=-x+3可得D(1,2)，因此CD=4-2=2，蒁(3)设P(x，-x²+2x+3)，由A、D横坐标相等易知D(x，-x+3)，则PF==(-x²+2x+3)-(-x+3)=-x²+3x肂由S△PAB=S△CAB得：×OA×PF=×3×(−x²+3x)=×3,蚇解得，x=，则P点坐标为(，)芆膄薈二次函数中常见图形的的面积问题蚈1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？莆蒈莆x芁y芀O蒇A蒅B羄D羀图二莅E薃x芈y蒆O蒃A羃B聿C薇图一袅P莂x蝿y薈O羄A袂B蕿图三薇莇罿膈袃肀肇2、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，D为抛物线的顶点，连接BD，CD，薇（1）求四边形BOCD的面积.蚃（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）膁蒀羆薈蚄x芀y衿O螇M蒅E芁N羇A膆图五膅O莂x莀y薆D羆C膀图四蒈x肅y莂O芁D薇C蒄E膂B节图六莃备用图蒆肄羀羀袅袄肁聿芄3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，薄（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；肃（2）求四边形ABMC的面积.膇羈莅袀薀4、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．莇（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D的坐标；（3）求四边形ADBC的面积.肅羁蚈袇薂肃肀5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x轴的另一个交点为E。芆（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE的面积.节袀腿蚅肂袂芇膅螃羃6、已知二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.虿（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；膀（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；蚇（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得ABCNABSS,肄若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。蕿艿肆螄莇薆变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.莄羅薁芀肈蒂蚂蚀薅A蚂x蝿y羅B芅O葿C袈变式一图薄C薃P螀x螈O芈A芃B螂y莈变式二：在双曲线3yx上是否存在点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.衿莆蚃薂羈螅蒃荿芀膅7、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．膄提示：点E的坐标可以设为（32,2xxx），x的取值范围是-3＜x＜0,根据题2求三角形面积的思路建立△EBC的面积EBCS关于x的函数关系式，体会点E位置的不确定性对方法的选择是否有影响．莁莈袈羄蒇A节x葿y蒇O羇B羂C蒁变式二图蒂薇莇蚄