随机过程复习题(含答案)

第1页共11页随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{nX和常数a，若对于任意0，有______}|{|limaXPnn，则称}{nX依概率收敛于a。2．设}),({0ttX是泊松过程，且对于任意012tt，，则1592}6)5(,4)3(,2)1({eXXXP,618}4)3(|6)5({eXXP1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({eeeeXXPXXPXXPXXXXXXPXXXP66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({eeXXPXXP3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321I，初始分布为),,(412141，43410313131043411)(P，则167)2(12P，161}2,2,1{210XXXP第2页共11页4831481348436133616367164167165)1()2(2PP167)2(12P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210XXPXXPXPXXXPXXPXPXXXP4．强度的泊松过程的协方差函数),min(),(tstsC5．已知平稳过程)(tX的自相关函数为cos)(XR，)]()([)(XS6.对于平稳过程)(tX，若)()()(XRtXtX，以概率1成立，则称)(tX的自相关函数具有各态历经性。7.已知平稳过程)(tX的谱密度为23)(242S，则)(tX的均方值=212122222211221)2(22211122)(SeeRX2121)(2第3页共11页)(tX的均方值2121)0()(2XXR8.随机相位过程),cos()(tatX其中,a为常数，为),(20上服从均匀分布的随机变量，则0)(tX，cos2)()(2atXtX9．设马尔可夫链},2,1,0,{nXn的状态空间}1,0{I，则一步转移概率矩阵为9.01.01.09.0P，初始分布为)31,32()0(p，则2X的分布律为)300118,300182()2(P，0354.0)0,1,1(432XXXP82.018.018.082.0)2(2PP)300118,300182(82.018.018.082.0)31,32()2()0()2(Ppp0354.01.09.0300118)1|0()1|1()1()1,1|0()1|1()1()0,1,1(34232324232432XXPXXPXPXXXPXXPXPXXXP10.设...)2,1,0(nXn是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为第4页共11页nnnnDCnP21311)(，则nnnnDC2113113．设)(XE，2)(XD，则由切比雪夫不等式____)|(|3XP；14．随机变量序列nXXX,,21独立同分布,且2)(,)(iiXDXE02,1i,则对任意实数,x________}{limxnnXPniin1二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，nX表示第n天的状态（0或1）。（1）写出马氏链},{1nXn的一步转移概率矩阵；（2）在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨天的概率各是多少？；解：}1,0{I，(1)31312121)1(P第5页共11页(2)1811187127125)2(P,125)2()0|0(0013pXXP648389648259432259432173)4(P,432259)4()0|0(0115pXXP2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为3/23/103/203/103/23/1P，证明此链具有遍历性，并求其平稳分布。解：9/69/29/19/49/49/19/49/29/3)1()2(2PP由于)2(P中不含有零元，故此链具有遍历性。解方程组P和1i，即1323231323131321323312211解得74,72,71321，故平稳分布为)74,72,71(。3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以)(nX表示经过n次交换后甲盒子中的红球数，则}0),({nnX是一齐次马尔可第6页共11页夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明}0),({nnX是遍历链。解：(1)}2,1,0{I51)0(36340CCXP,53)1(3612240CCCXP,51)2(3622140CCCXP,故初始分布)51,53,51()0(p。(2)3/13/209/29/59/203/23/1)1(P(3)27727162748116814981162742716277)1()2(2PP,由于)2(P中不含有零元，故此链具有遍历性。4．设tBtAtX00sincos)(，0是常数，A与B为相互独立的随机变量，且)1,0(~NA，)1,0(~NB（1）证明)(tX是平稳过程；（2）证明)(tX均值具有各态历经性；（3）求)(tX的平均功率。解：(1)10DAEA10DBEB1)(1)(2222EBDBEBEADAEAA与B相互独立，0))(()(EBEAABE第7页共11页)(0sincos)sin()cos()(0000常数tEBtEAtBEtAEtEX有关）（只与00000200200000020020000000020020000cos)(sinsin)(coscos)(sinsin)(coscos)()](cossin)(sin[cos)(sinsin)(coscos)](cossin[)](sincos[)](sinsin[)](coscos[)]}(sin)(cos][sincos{[)]()([ttttEBttEAttABEttttEBttEAttttABEttABEttBEttAEtBtAtBtAEtXtXE故)(tX是平稳过程(2))(0sincos21lim)(00tEXtdtBtATtXTTT故)(tX均值具有各态历经性(3)1)0(2XXR5.随机过程tYtXtZcossin)(，其中YX,为独立同分布的随机变量，它们的分布律为：X-12Y-12P2/31/3P2/31/3（1）证明)(tZ为平稳过程；（2）证明)(tZ的均值具有各态历经性.第8页共11页解：(1)20DXEX20DYEYX与Y相互独立，0))(()(EYEXXYE)(0cossin)cos()sin()(常数tEYtEXtYEtXEtEZ有关）（只与cos2)]}cos()sin(][cossin{[)]()([tYtXtYtXEtZtZE故)(tZ是平稳过程(2))(02sin2limcossin21lim)(tEZTTYtdtYtXTtZTTTT故)(tZ均值具有各态历经性6．设有随机过程)sin()cos()(tBtAtX，其中A与B独立且都是均值为零，方差为2的正态随机变量，求（1）)1(X和)41(X的概率密度；（2）问)(tX是否是平稳过程？解：(1)),0(~cos)1(2NAAX22221)(xexf),0(~2)(4sin4cos)41(2NBABAX第9页共11页22221)(xexf(2))(0)(常数tEX)(cos)()(2有关只与tXtEX故)(tX是平稳过程7．设)cos()(tAtX，A为随机变量，具有瑞利分布，其密度函数为000482xxexxfx)(，是),(20上服从均匀分布与A相互独立的随机变量，问)(tX是否是平稳过程？解：)2,0(~U其密度函数为其它0)2,0(21)(xxf)(021)cos()cos()(20常数dtEAtEEAtEX有关）（只与cos4))cos(()cos()])cos(()cos([)]()([2ttEEAtAtAEtXtXE第10页共11页808)8(804828082802802222222xxxxxexdeexdexdxexxEA其中cos212cos41)]cos()22[cos(212121)cos()cos())cos(()cos(2020dtdttttE8．设)(tX是平稳过程，令)()()(atXatXtY，a为常数，试证：（1）)()()()(aRaRRRXXXY222；（2）)(sin)()(aSSXY24。解：)]()([)(tYtYERY)()2()2()()]()([)]()([)]()([)]()([)]}()()][()({[XXXXRaRaRRatXatXEatXatXEatXatXEatXatXEatXatXatXatXE)2()2()(2aRaRRXXX第11页共11页deaRdeaRdeRdeaRaRRSiXiXiXiXXXY)2()2()(2)]2()2()(2[)()()(XiXSdeR)()()(2)2(22)2(XiauiXiaauiXiXSedueuRedueuRaudeaR令)()()(2)2(22)2(XiaviXiaaviXiXSedvevRedvevRavdeaR令)(sin)(4)]2cos(1)[(2)()2cos(2)(2)()()(2)(222aSaSSaSSeeSSXXXXXiaiaXY所以，