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§2.4一阶隐方程与参数表示)('未能解出或相当复杂y一阶隐式方程求解—采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.主要研究以下四种类型),,()1('yxfy),,()2('yyfx,0),()3('yxF,0),()4('yyF,,0.Fxyy的方程或可解出一)(xy、1形如)2(),,(dxdyxfy变为则方程引进参数)2(,1'0yp)3(),,(pxfy得代入并以求导两边对将,,)3(20pdxdyx)4(,dxdppfxfp。px的一阶微分方程这是关于变量,(i)(,),pxc解上述方程,根据其解的不同形式可给出原方程的三种形式的解:,(,)yfxxc(ii)(,),xpc(,),(,),xpcyfpcp(iii)(,,)0,xpc(,,)0,,xpcyfxpddyffppxxpx例2求解方程.2)(22xdxdyxdxdyy例1求方程3dd20ddyyxyxx的解.2形如)9(),,(dxdyyfx变为则方程引进参数)9(,10dxdyp),,(pyfx得代入并以求导将上式两边对,1,20pdydxy)10(,1dydppfyfp。py的一阶微分方程这是关于变量,(i)(,),pyc解上述方程,根据其解的不同形式可给出原方程的三种形式的解:,(,)xfyyc(ii)(,),ypc(,),(,),ypcxfpcp(iii)(,,)0,ypc(,,)0,,ypcxfyp例3求解方程.02)(3ydxdyxdxdy解::,代入方程得设dxdyp方程变形为:dxdydxdyyx2)(3).0(,23pppyx得代入并以求导上式两边对,1,pdydxy,2)()31(1232pdydppydydpppp即,023dppydppdy解以上微分方程得:,24cpyp因而:,24ppcy故方程的通解参数形式为22434ppcx223ppcy).,0(为任常数为参数cp.0,y还有解此外的方程或不显含二)(xy、1形如)11(,0),(dxdyxF,dxdyp设,0),(:)11(pxF变为则则方程F(x,p)0表示Oxp平面上的一条曲线,将其参数化为(),(),xtptd()()d,yttt利用上述参数方程及dypdx可得然后两边积分得到(),()()d,xtytttc()()d,ytttc由此可得原微分方程的参数形式的通解c为任意常数.例4求解方程,)(12dxdyxdxdy解的隐式方程这是不显含y:,则方程变为设dxdyp,12pxp把方程表为参数形式引入参数,t代入方程得令,22,tanttp.sintx故原方程参数形式的通解为txsinctycos得通解为可以消去参数,t.1)(22cyx由于pdxdytdttcostan,sintdt积分得dttysinctcostxtpsin,tan2.形如,0Fyy的方程的解法ddypyx令则方程F(y,p)0表示Oyp平面上的一条曲线,将其参数化为(),(),ytpt()dd,()ttxt利用上述参数方程及dypdx可得然后两边积分得到()d,()(),txtctyt()d,()txtct由此可得原微分方程的参数形式的通解c为任意常数.例5求解微分方程.1))(1(22dxdyy另外,若k为方程F(y,0)0的根,则易知yk也是原方程的解.若上面得到的参数形式的解不能包含此常数解,则需将其补充到通解中.作业P6911.设yC1cosxC2sinx,其中C1,C2为任意常数,验证它为方程y''y0的通解.2d1d2yyxy用常数变易法求解.2.将方程化为线性方程,然后3.利用积分因子法求解微分方程323d2d0.xyxxyxy4.求解一阶隐式微分方程9.22xxyyy
本文标题:常微分方程(王高雄)第三版-2.4
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