常微分方程(王高雄)第三版-3.3

§3.3解对初值的连续性和可微性定理常微分方程OrdinaryDifferentialEquations第三章200(,),(,)(1)()dyfxyxyGRdxyxy考察的解对初值的一些基本性质00(,,)yxxy•解对初值的连续性•解对初值和参数的连续性•解对初值的可微性内容:yxG00(,)xy00(,,)yxxy00(,)xy00(,,)yxxy图例分析(见右)200(,),(,)()dyfxyxyGRdxyxy解可看成是关于00,,xxy的三元函数00(,,)yxxy满足0000(,,)yxxy11(,)xy解对初值的对称性:00(,,)yxxy00(,,)yxxy前提解存在唯一例:0000()xxdyyyyedxyxy初值问题的解不单依赖于自变量,同时也依赖于初值.初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动.…………00(,)xyxQ:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小？证明),,,(0011yxxy则由解的唯一性知,,),(),()1.3(0011的解是同一条积分曲线与过点过点yxyx即此解也可写成:),,,(11yxxy且显然有:),,,(1100yxxy,),(11是积分曲线上任一点由于点yx。yxyxxy均成立点对该积分曲线上任意因此关系式),(),,(00解对初值的对称性:00(,,)yxxy00(,,)yxxy前提解存在唯一,)()1.3(100xyxy值的解存在区间内任取一满足在一、解对初值的连续性定义设初值问题)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy,],[),,(00上存在在区间的解bayxxy使得对于满足如果对,0),,(,0ba2200200)()(yyxx),,(00yx的一切1.解对初值的连续依赖性并且上存在都在区间的解,],[),,(00bayxxy'00)1.3(,)(),(yxyyxfdxdy初值问题],[,),,(),,(0000baxyxxyxx).,(),(),,()1.3(000000'yxyxyxxy连续依赖于初值在点的解则称初值问题引理如果函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。(,)fxy(,)dyfxydx()x()x0x000()()()()Lxxxxxxe2220000()()xxyy2定理1(解对初值的连续依赖性定理)00(,)xyG00(,,)yxxyy(,)fxy条件:I.在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为[a,b].0(,,)ab0结论:对,使得当00(,,)yxxy00(,)xy0000(,,)(,,),.xxyxxyaxb时,方程(1)过点的解在[a,b]上也有定义,且21(,),()),(dyfxyxyGRdx方程xy000(,)pxyabmin(,/2)0x0y0y0xGD思路分析：记积分曲线段S：显然S是xy平面上的有界闭集.00(,,)(),[,]yxxyxxab第一步:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.SD(,)fxyyxG00(,)xy00:(,,)SyxxyiC(见下图)由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有(,)xySiCG(,)fxyiL1NiiGCSGG对,记0(,),min,/2dGS则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域D1max,,NLLLGbaxy000(,)pxyabmin(,/2)0x0yGDxy000(,)pxyabmin(,/2)0x0y0y0xGD第二步:证明在[a,b]上有定义.00()(,,)xxxydc()x()x注：,cadb()x饱和解反证,cadb000()()()(),Lxxxxxxecxd(引理)()11,2Lbae对()x连续202010,()().xxxx221200002min(,),()()xxyy022200()()()()Lxxxxxxe0220000(()()()())Lxxxxxxe022200002(()()()())Lxxxxxxe222()0012()Lbayye22()214,[,]Lbaexcd令()(),()()ccdd(,()),(,()),ccddD从而，()x可再延拓。000()()()()Lxxxxxxe00000(()()()())Lxxxxxxe)(0000))()((abLexxyy)(1)(abLe)(12abLe10202)(1)()(,,,21xxxxeabL时当对},min{0,)()(:2122020yyxxRRyx),(00第三步:证明()(),xxaxb连续由于)(x根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:3定理2(解对初值的连续性定理)y(,)fxy条件:在G内连续且关于满足局部Lips.条件;21(,),()),(dyfxyxyGRdx方程结论:在它的存在范围内是连续的.00(,)xyG00(,,),yxxy,作为的函数00,,xxy二、解对初值的可微性的微分方程对含参量)1.3(),,,(yxfdxdy条件满足局部内一致地关于且在连续在区域设LipschitzyGGyxyxGyxf,)},(,),(|),,{(),,(),),,(,),,(,),,((无关与条件满足内对在使为中心球以即对LLipschitzyCyxfGCyxGyx000000000000(,),(3.1)(,,),(,,,)(,,,).xyGyxxyyxxy则对方程通过点的解存在且唯一记这个解为且有1解对初值和参数的连续依赖定理使当则对,0),,(,0ba220200200)()()(yyxx且上也有定义在区间的解通过点方程时,),,,(),()1.3(,0000bxayxxyyxbxayxxyxx,),,,(),,,(00000,,,),()1.3(),,,(,),,(,,),,(000000000bxabxayxyxxyGyxLipschitzyGGyxf其中义上有定在区间的解通过点方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设为02解对初值和参数的连续性定理.,,,),,,()1.3(,,),,(0000内是连续的的函数在它们存在范围作为的解则方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设yxxyxxyLipschitzyGGyxf3解对初值可微性定理.,,),,()1.3(,),(0000在范围内是连续可微的的函数在它们的存作为的解则方程内连续都在区域以及若函数yxxyxxyGyfyxf证明,内连续在由于Gyf,),(条件满足局部内关于在故LipschitzyGyxf因此,解对初值的连续性定理成立,即),,(00yxxy.,,00是连续的在它的存在范围内关于yxx.,,),,(,0000存在且连续的任一点偏导数在它的存在范围内函数下面证明yxxyxxy.),,(显然存在且连续xfx.0存在且连续先证y所确定的解分别为和设由初值),(),(00000yyxyx,),,(00yxxy,),,(000yyxxy即,),(00xxdxxfy和,),(000xxdxxfyy于是xxdxxfxfy0)),(),((00yxxdxyxf0)())(,(有的连续性及注意到其中,,.10yfyxf))(,(1),(ryxf.00,001010ryry时且时这里当有因此对00y0yxxdxyryxf001)(]),([10yz设即0yz是初值问题zryxfdxdz]),([11)(0xz的解,.,00上述初值问题仍然有解时显然当y则xxzdxryxfz0]),([11从而存在的连续函数是知,,,,0000yzxxyz0000limyyy是初值问题而0yzyxfdxdz),(1)(0xz的解,不难求得)),(exp(00xxdxyxfy.,,00的连续函数显然它是yxx根据解对初值和参数的连续性定理.0存在且连续同样可证x)),(exp(),(0000xxdxyxfyxfx)),(exp(00xxdxyxfy)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy初值问题,),,(00有的解yxxy结论：例1xydxdysin试求已知方程.]),,([,]),,([00000000000000xyxyyyxxyxyxxy解.cos),(,cos),(平面上连续在xyxyxyxfxyyyxfyx.,,,),,(sin0000平面上连续可微在的函数作为的解方程xyyxxyxxyxydxdy由公式得0000000]),,([xyyyxxy00000)),(exp(xyxxdxyxf)),(exp(00xxdxyxfy)))0,0,(cos(exp(0xdxxxx)0)0,0,(,0)0(,0(xyy且满足是原方程的解易见)exp(0xxdx221xe0000000]),,([xyxyxxy0000000)]),(exp(),([xyxxdxyxfyxf)exp()0,0(0xxdxf0)),(exp(),(0000xxdxyxfyxfx)))0,0,(cos(exp()0,0(0xdxxxxf