高考数学-三角函数(高考汇编版)

三角函数典型例题1．设锐角ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，,2sinabA.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cossinAC的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sinabA,根据正弦定理得sin2sinsinABA,所以1sin2B,由ABC为锐角三角形得π6B.(Ⅱ)cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A.2．在ABC中,角A．B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC．(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设2411msinA,cosA,nk,k,且mn的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0Aπ,∴sinA≠0.∴cosB=21.∵0Bπ,∴B=3.(II)mn=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,32)设sinA=t,则t∈]1,0(.则mn=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈]1,0(.∵k1,∴t=1时,mn取最大值.20070316依题意得,-2+4k+1=5,∴k=23.3．在ABC中,角CBA,,所对的边分别为cba，，,22sin2sinCBA.I.试判断△ABC的形状;II.若△ABC的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin2cos2sin2sinCCCCC2242CC即,所以此三角形为直角三角形.II.ababbaba221622,2)22(64ab当且仅当ba时取等号,此时面积的最大值为24632.4．在ABC中,a、b、c分别是角A．B．C的对边,C=2A,43cosA,(1)求BCcos,cos的值;(2)若227BCBA,求边AC的长｡【解析】:(1)81116921cos22coscos2AAC47sin,43cos;873sin,81cosAACC得由得由169814387347coscossinsincoscosCACACAB(2)24,227cos,227acBacBCBA①又aAacACCcAa23cos2,2,sinsin②由①②解得a=4,c=625169483616cos2222Baccab5b,即AC边的长为5.5．已知在ABC中,AB,且Atan与Btan是方程0652xx的两个根.(Ⅰ)求)tan(BA的值;(Ⅱ)若AB5,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652xx的两根tan3,tan2AB.∴tantantan()1tantanABABAB231123(Ⅱ)∵180CBA,∴)(180BAC.由(Ⅰ)知,1)tan(tanBAC,∵C为三角形的内角,∴2sin2C∵tan3A,A为三角形的内角,∴3sin10A,由正弦定理得:sinsinABBCCA∴53352102BC.6．在ABC中,已知内角A．B．C所对的边分别为a、b、c,向量2sin,3mB,2cos2,2cos12BnB,且//mn｡(I)求锐角B的大小;(II)如果2b,求ABC的面积ABCS的最大值｡【解析】:(1)//mn2sinB(2cos2B2-1)=-3cos2B2sinBcosB=-3cos2Btan2B=-3∵02Bπ,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B=-3B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34ac≤3∴△ABC的面积最大值为3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时等号成立)∴ac≤4(2-3)∵△ABC的面积S△ABC=12acsinB=14ac≤2-3∴△ABC的面积最大值为2-37．在ABC中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且.21222acbca(1)求BCA2cos2sin2的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】:(1)由余弦定理:cosB=142sin2AC+cos2B=41(2)由.415sin,41cosBB得∵b=2,a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤38,S△ABC=12acsinB≤315(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为3158．已知)1(,tanaa,求2tan)2sin()4sin(的值｡【解析】aa12;9．已知3sin5coscos23sincostan322f(I)化简f(II)若是第三象限角,且31cos25,求f的值｡【解析】10．已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos23()sin2(1cos2)22xfxxx313sin2cos22223sin(2).62xxx()fx的最小正周期2.2T由题意得222,,262kxkkZ即,.36kxkkZ()fx的单调增区间为,,.36kkkZ(2)先把sin2yx图象上所有点向左平移12个单位长度,得到sin(2)6yx的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62yx的图象｡11．已知23,23a,)4cos,4(sinxxb,baxf)(｡(1)求)(xf的单调递减区间｡(2)若函数)(xgy与)(xfy关于直线1x对称,求当]34,0[x时,)(xgy的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos234sin23)(xxxxf∴当]223,22[34kkx时,)(xf单调递减解得:]8322,8310[kkx时,)(xf单调递减｡(2)∵函数)(xgy与)(xfy关于直线1x对称∴34)2(sin3)2()(xxfxg34cos3342sin3xx∵]34,0[x∴32,334x∴]21,21[34cosx∴0x时,23)(maxxg12．已知cos2sin,求下列各式的值;(1)2sincossin3cos;(2)2sin2sincos【解析】:1cos2sin,tan2Q(1)1212sincos2tan1421sin3costan3532(2)2222sin2sincossin2sincossincos2222112tan2tan322tan1511213．设向量(sin,cos),(cos,cos),axxbxxxR,函数()()fxaab(I)求函数()fx的最大值与最小正周期;(II)求使不等式3()2fx成立的x的取值集合｡【解析】14．已知向量)1,32(cosm,)1,(sinn,m与n为共线向量,且]0,2[(Ⅰ)求cossin的值;(Ⅱ)求cossin2sin的值.｡【解析】:(Ⅰ)m与n为共线向量,0sin)1(1)32(cos,即32cossin(Ⅱ)92)cos(sin2sin12,972sin2)cos(sin)cos(sin22,916)32(2)cos(sin22又]0,2[,0cossin,34cossin因此,127cossin2sin15．如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075,030,于水面C处测得B点和D点的仰角均为060,AC=0.1km｡试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,21.414,62.449)【解析】:在ACD中,DAC=30°,ADC=60°-DAC=30°,所以CD=AC=0.1又BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA在ABC中,ABCACBCAABsinsin,即AB=2062351sin60sinAC因此,km33.020623BD故B．D的距离约为0.33km｡16．已知函数()sin(),fxAxxR(其中0,0,02A)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2,且图象上一个最低点为2(,2)3M.(Ⅰ)求()fx的解析式;(Ⅱ)当[,]122x,求()fx的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低点为2(,2)3M得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为2得2T=2,即T,222T由点2(,2)3M在图像上的242sin(2)2,)133即sin(故42,32kkZ1126k又(0,),,()2sin(2)266fxx故(2)7[,],2[,]122636xx　　　　当26x=2,即6x时,()fx取得最大值2;当7266x即2x时,()fx取得最小值-1,故()fx的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知50ABm,120BCm,于A处测得水深80ADm,于B处测得水深200BEm,于C处测得水深110CFm,求∠DEF的余弦值｡【解析】:作//DMAC交BE于N,交CF于M.22223017010198DFMFDM,222250120130DEDNEN,2222()90120150EFBEFCBC在DEF中,由余弦定理,2222221301501029816cos2213015065DEEFDFDEFDEEF18．已知51cossin，),2(，求（1）sincos（2）33sincos（3）44sincos【解析】：（1）3344791337sincos(2)sincos(3)sincos512562519．已知函数)sin(xAy（0A，0，||）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。