窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器

•广州大学物理与电子工程学院第五章FIR数字滤波器的设计5.2窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器主要内容一、窗函数法设计线性相位FIR滤波器的基本思想二、Gibbs（吉伯斯）现象三、常用窗函数四、Kaiser(凯泽)窗重点与难点重点1、窗函数设计法的基本思想难点1、常用窗函数一、基本思想问题：理想滤波器的频率响应Hd(ejW)已知，如何设计一物理可实现的滤波器，使其频响特性逼近Hd(ejW)?πjjjdddπ1[]{(e)}(e)ed2πkhkIDTFTHHWhd[k]一般情况下是无限长非因果序列，需对其进行截短和因果化处理。一、基本思想可实现性处理方案方案一：(1)将hd[k]关于k=0对称截短，即h[k]=hd[k],LkL(2)若h[k]非因果系统，可将其右移使其成为因果系统h[k]=hd[kL]，0k2L只能设计I型或III型线性相位FIR滤波器(1)由下式计算hd[k]：(2)计算出hd[k]后，取其在0kM范围的值：h[k]=hd[k]，0kM一、基本思想可实现性处理方案方案二：可设计四种类型的线性相位FIR滤波器πjjddπ1[](e)ed2πkhkHWWWπj(-0.5M)jdπ1()eed2πkAWWWW2d12d02d1][][][][khkhkhkhMkMkk一、基本思想第二种方法的设计结果分析WWWd)e()e(π212jjdππ2HH22][][khkhdk等于零，即h[k]=hd[k],0kM最小！积分平方误差：由Parseval定理结论：上述方法所设计的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。1221[][]ddkkMhkhk一、基本思想（采用方案二）1．根据要求确定线性相位FIR滤波器的类型2．确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位函数fd(W)3．按照下式计算IDTFT得hd[k])(π21][j)(jdππddkAkh4．截短hd[k]得：h[k]=hd[k]，0kM最小积分平方误差设计FIR滤波器的步骤：fd(W)=0.5MW+例1：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。解：(1)确定线性相位FIR滤波器类型：可选用I型或II型(2)确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)：其他0π1)(2c1cd(W)=0.5MW(3)确定理想滤波器的相位fd(W)：例1：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。解：)(π21][j)(jdππddkAkh(4)计算IDTFT得hd[k])5.0(j)5.0(jc21c1c2cMkMk)5.0(Saπ)5.0(Saπc11cc22cMkMk(5)截断hd[k]][][][dkwkhkhN长度为N=M+1的矩形窗例1：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。解：kh[k]00A(W)W0.30.7单位脉冲响应幅度函数取Wc1=0.3，Wc2=0.7，M30时，有：二、Gibbs（吉伯斯）现象00.250.50.751403021100M=14M=30矩形窗设计的FIR低通滤波器在不同阶数时的幅度函数(Wc=/2)所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，且最大波纹大约为幅度的9%，这个现象称为Gibbs现象。WWd)e()e(π21)e()(jjdππjNWHH二、吉伯斯现象产生吉伯斯现象原因分析由于所设计滤波器的单位脉冲响应][][][dkwkhkhNN=M+1利用DTFT的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应H(ejW)逼近Hd(ejW)的好坏，取决于窗函数的频谱WN(ejW)窗函数的频谱二、吉伯斯现象长度为N的矩形窗窗函数的频谱)2/sin()2/sin(e)e(2/)1(jj2NN04NW3N)(WW矩形窗的幅度函数W(W)1.W(W)的主瓣宽度：4/N2.旁瓣相对衰减为常数：3π()20lg(0)WNAW=13dB二、吉伯斯现象矩形窗设计FIR滤波器的频率响应H(ejW)jd(e){()()}NHDTFThkwkWπ-j/2-j()/2dπ1()e()ed2πMMAWWWπ-j/2dπ1e()()d2πMAWWWj-j/2dd(e)()eMHAWWWj-j/2(e)()eMNWπjj()dπ1(e)(e)d2πNHWWjjd1(e)(e)2πNHπdπ1()()()d2πAAWWWFIR滤波器的幅度函数：二、吉伯斯现象矩形窗设计FIR滤波器的频率响应H(ejW)102π/cNWW、当时：H(ejW)主要由主瓣的面积确定。H(ejW)的波动由旁瓣引起。22π/cNWW、当时：πdπ1()()()d2πAAWWWFIR滤波器的幅度函数：二、吉伯斯现象矩形窗设计FIR滤波器的频率响应H(ejW)3cWW、当时：H(ejW)逐渐减小，形成了滤波器的过渡带。FIR滤波器过渡带的宽度和窗函数主瓣的宽度密切相关。πdπ1()()()d2πAAWWWFIR滤波器的幅度函数：二、吉伯斯现象矩形窗设计FIR滤波器的频率响应H(ejW)42π/cNWW、当时：H(ejW)完全由旁瓣的面积确定。旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减。πdπ1()()()d2πAAWWWFIR滤波器的幅度函数：二、吉伯斯现象矩形窗设计FIR滤波器的频率响应H(ejW)矩形窗截断产生的波峰大约是9%，故用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为：20lg0.0921dBπdπ1()()()d2πAAWWWFIR滤波器的幅度函数：二、吉伯斯现象结论1.窗函数的主瓣宽度决定了H(ejW)过渡带(4π/N)的宽度,窗函数长度N增大，过渡带减小。2.旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减。用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为：20lg(9%)21dB如何提高阻带衰减?选用旁瓣幅度较小的窗函数三、常用窗函数矩形窗其他001][MkkwAp=20lg(1dp)0.82dB,As=20lg(ds)21dB10.50.091.09WWcNπ8.1dp=ds=0.094π/N|()|jHe三、常用窗函数Hann(汉纳/汉宁)窗(w=hanning(M+1))0.50.5cos(2π/)0[]0kMkMwk其他01020301w[k]kAp=-20lg(1-dp)0.056dB,As=-20lg(ds)44dBWWcNπ2.60.006411.00641-0.0064dp=ds=0.0064三、常用窗函数Hamming(哈明/汉明)窗(w=hamming(M+1))0.540.46cos(2π/)0[]0kMkMwk其他01020301w[k]kAp0.019dB,As53dBWWcLπ0.71.00220.002211-0.0022dp=ds=0.0022N三、常用窗函数Blackman(布莱克曼)窗(w=blackman(M+1))0.420.5cos(2π/)0.08cos(4π/)0[]0kMkMkMwk其他01020301w[k]kAp0.0017dB，As74dBWWcLπ4.111.00020.00021-0.0002dp=ds=0.0002N三、常用窗函数窗的类型主瓣宽度近似过渡带宽度dp，dsAp(dB)As(dB)矩形4/N1.8/N0.090.8221Hann8/N6.2/N0.00640.05644Hamming8/N7/N0.00220.01953Blackman12/N11.4/N0.00020.001774常用窗函数性质此处N为窗的长度。][][][dkwkhkhN例2：用非矩形窗设计截频为Wc=0.5的线性相位理想低通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。解：(1)确定线性相位FIR滤波器类型：可选用I型或II型其他01)(cjdeA(W)=0.5MW(2)确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位fd(W)(3)计算IDTFT得hd[k])]5.0([Saπ][ccdMkkhWW(4)截断hd[k]可以是汉宁窗、哈明窗或Blackman窗矩形窗和汉宁窗设计的低通对比00.250.50.751-80-60-44-200SquareHanning例2：用非矩形窗设计截频为Wc=0.5的线性相位理想低通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。矩形窗和哈明窗设计的低通对比00.250.50.751-80-60-52-200SquareHamming例2：用非矩形窗设计截频为Wc=0.5的线性相位理想低通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。矩形窗和Blackman窗设计的低通对比00.250.50.751-100-75-60-40-200SquareBlackman例2：用非矩形窗设计截频为Wc=0.5的线性相位理想低通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。四、Kaiser(凯泽)窗200(1[12/])[],0()IkMwkkMI是一可调参数，调节窗函数的形状。I0(x):零阶第一类修正贝塞尔函数。I0(x)可用幂级数表示为：210!)2/(1)(nxxInn一般求20项就能达到所需精度。定义(w=kaiser(N,beta))四、Kaiser(凯泽)窗0246810121416182000.51=00246810121416182000.51=10246810121416182000.51=3——取不同值时窗的形状(M=20)四、Kaiser(凯泽)窗其中，A=20lg(min{dp，ds})21,285.295.7spAAMWW21,05021),21(07886.0)21(5842.050),7.8(1102.04.0AAAAAAN与的确定四、Kaiser(凯泽)窗Kaiser窗设计FIR滤波器的MATLAB函数[M,Wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev)f:表示需设计的FIR滤波器的频带。a:B个元素的向量,表示FIR滤波器在B个频带中的幅度值。一般对通带取值为1，阻带取值为0。dev:B个元素的向量,表示FIR滤波器在B个频带中的波动值。返回参数M及beta，分别表示FIR滤波器阶数M及Kaiser窗的参数。返回参数Wc和ftype是函数fir1的调用参数。h=fir1(M,Wc,'ftype',window)M表示滤波器的阶数。Wc表示理想FIR滤波器的B个频带。ftype表示滤波器的类型，缺省值为空。window是一长度为N+1的向量,默认为Hamming窗。四、Kaiser(凯泽)窗获得FIR滤波器的单位脉冲响应例3：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。Wp=0.3,Ws=0.5，Ap=0.1dB,As=40dB。解：(1)由给定指标确定待逼近理想低通的截频Wc由于理想低通滤波器的|H(ejW)|在截频Wc处收敛于0.5，因此常将截频Wc取在过渡带的中点Wc=(Wp+Ws)/2=0.4解：(2)由给定指标确定Kaiser窗的参数N和0114.0101p05.0pAd01.010s05.0sAdA=20lg(min{dp，ds})=As=40dB3.22285.295.7spWWAMI型线性相位滤波器阶数