中南大学结构力学课件--9渐近法

结构力学中南大学返回退出22:35第九章渐近法§9-1引言§9-2力矩分配法的基本原理§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§9-4力矩分配法与位移法联合应用§9-5*无剪力分配法结构力学中南大学返回退出22:35力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的近似方法。从数学上说，是一种异步迭代法。单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。§9-1引言结构力学中南大学返回退出22:35力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。§9-1引言结构力学中南大学返回退出22:35转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。一、力矩分配法中几个概念1.转动刚度（劲度系数）lABEIM=iABM=iBA421iSAB4转动刚度A端一般称为近端，B端一般称为远端。§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35lABEIM=BAM=iAB301iSAB3转动刚度iSAB转动刚度lABEIM=ABM=-iAB1ilABEIM=AB10转动刚度思考：BA0ABS?ABS§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得图示连续梁，力偶MB使结点B产生转角θB。BBBABAiSM4BBBCBCiSM3(a)取结点B为隔离体0BCBaBMMMBBCBABCBABSSMMM)()(BBACMBMBMBCMBAB2．分配系数杆端弯矩为§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35∑S(B)为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。近端弯矩MBA、MBC为)(BBBCBABBSMSSM转角为:BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(可见：各杆B端的弯矩与各杆B端的转动刚度成正比。§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35μBA、μBC分别称为各杆近端弯矩的分配系数。)(BBABASS)(BBCBCSS令,近端弯矩BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(BBCBCBBABAMMMM——称为分配弯矩。可以写成一个结点上的各杆端分配系数总和恒等于1。§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之和∑μ(B)应等于多少？BAABBAABMCMM21BACBCBMCM0ABBAABMMC3．传递系数远端弯矩（传递弯矩）——称为由A端向B端的传递系数。上述计算过程可归纳为：结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。BBACMB§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35远端固定时:远端铰支时:远端定向时:C=1/2C=0C=-1与远端支承情况有关ABi14i2iABi13iABi1i§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35例9-1结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。解:当结点B转动时，A支座只阻止A端发生线位移，相当于固定铰，故0,3BABAClEIS21,4BCBCClEISC支座既阻止C端的线位移，也可以阻止C端转动，其作用与固定端一样，因此(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCθEIEIEI(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCθEIEIEID支座不能阻止D点垂直BD轴的转动，所以0,0BDBDCS§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35例9-2图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求SAB及CABAB28C4B2SABS28108iiiiiiθ=1ACEI=∞lΔθlBil/l=iBCθil当666Aa)CEI=∞lθlBil/l=iBCi666当lθc)AB28=1C4B2SABS28108θiiiiii解:当A端转角θ=1时，截面C有竖向位移Δ=l·θ=l及转角θ=1。CB段的杆端弯矩为iMCB10iMBC8iMSABAB2872288ABC梁AB弯矩图是直线变化的，按直线比例可得CEI=∞il/l=iBCθil当666llAB§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35解:当A转角θ=1时，因为AC刚性转动，C点向下的位移Δ=l×θ=l，所以EI=∞llθlθ=13iCABBCASAB3i/l=3iACBilΔiSAB33133iiCAB例9-3图示梁的AC杆为刚性杆段，CB杆段EI=常数。求SAB,CAB。EI=∞llθlθ=1CAa)BBCASAB3iΔ/l=3iACB3i§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35解:当A端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B产生向下的竖向位移Δ=l×θ=l，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2。则例9-4图示梁AB为刚性，B支座为弹性支承，其弹性刚度k=EI/l3,求SAB,CAB。ilEIlFSyBAB00iCABlk=3EI/lAB=kyBFABΔ=θlθ=1BASABEI/lFyB§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:354．不平衡力矩固定状态:ABm10EImkNq/12Cm10EIABmkNq/12CBuBM12/2qluBM---不平衡力矩，顺时针为正固端弯矩---荷载引起的单跨梁两端的杆端弯矩，绕杆端顺时针为正。mkNqlMFAB.10012/2mkNMFBA.1000FCBFBCMM§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35ABCuBMB放松状态:需借助分配系数,传递系数等概念求解BuBMFBAMFBCMFBCFBAuBMMMmkN.100§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:356060ABmkN.40CmkN/20mkNMuB.100406060mkN.40uBMABm4EImkN.40Cm6EImkN/20例.求不平衡力矩§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35二、力矩分配法基本思想以图示具体例子加以说明AB1l2l1EI2EICMMAB1l2l111/lEIi222/lEIiC按位移法求解时211134iir11rC14i23i01111pRZr§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35)34/(211iiMZMRP1P1RCM)34/(4211iiiMMCA)34/(3212iiiMMCB114/2iiMMCAAC23/0iMMCBBC由此可得到什么结论呢？0FM如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35uFF1)(CCBCApMMMRM叠加得最终杆端弯矩为FCACACAMMMFCBCBCBMMMFACCACAACMCMMFBCCBCBBCMCMM近端远端固端弯矩分配弯矩CiM固端弯矩传递弯矩iCM§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:351、先固定结点，由固端弯矩获得结点不平衡力矩；力矩分配法思路：3、接着用传递系数求传递弯矩；2、然后用分配系数求杆端分配弯矩；4、最后计算杆端最终杆端弯矩。这种直接求杆端弯矩，区段叠加作M图的方法即为力矩分配法。§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35例.计算图示刚架,作弯矩图iSA41解:2/13441iiiiAAB1Clql2CEIqlliSB31iSC18/33431iiiiB8/1341iiiiC8/2qlql2q4/2ql4/2qlq确定分配系数确定固端弯矩§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35000FM分配传递M结点杆端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/41/8163649643323064303211161641643643AB1Clql2CEIqll6416433211161）图（2qlM§9-2力矩分配法的基本原理结构力学中南大学返回退出22:35解（1）计算结点B处各杆端的分配系数由SBA=4i，SBC=3i有分配系数为ABC9kN/m80kN6m3m3m74344iiiSS)B(BABA73343iiiSS)B(BCBC一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结构力学中南大学返回退出22:35结点B的不平衡力矩为（2）计算固端弯矩（查表8-1）mkN2712691222qlMFABmkN2712691222qlMFBAmkN90166803163FlMFBC0FBCMmkN63FBCFBAuBMMM（3）进行弯矩分配与传递3m3m6m80kN9kN/mABC§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结构力学中南大学返回退出22:35分配系数4／73／7固端弯矩27-27-900分配与传递3627最后弯矩180注意：结点B应满足平衡条件。06363BM80kN9kN/mABC将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。-963-630§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结构力学中南大学返回退出22:35根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续梁的弯矩图。思考：用力矩分配法计算的只有一个刚结点结构的结果是精确解吗？12088.596340.5图(kNm)M3m3m6m80kN9kN/mABCmkN9ABMmkN63BCMmkN63BAM§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结构力学中南大学返回退出22:35二、具有多个结点转角的多跨连续梁1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩；2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。只需依次对各结点使用上述方法便可求解。步骤:3.最后累加固端、分配和传递得结果。§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结构力学中南大学返回退出22:356m6m12m25kN/m12m0123400kNEIEIEI21444)1(1010iiiSS21444)1(1212iiiSS74344)2(2121iiiSS73343)2(2323iiiSS例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=常数解:(1)首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。(2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。结点1的分配系数为结点2的分配系数为§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结构力学中南大学返回退出22:35mkN300121225122201qlMFmkN300121225122210qlMFmkN600812400812FlMFmkN600812400821FlMF03223FFMMmkN300600)(300F12F10u1MMM(3)计算固端弯矩(4)计算结点的不平衡力矩结点1的不平衡力矩为结点