27.1.3圆周角(华东师大版)

27.1.3圆的认识华师大版九年级下册复习回顾:答:顶点在圆心的角叫圆心角..OAB2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？1.什么叫圆心角?在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:A.OBC.OBCA.OBCA探索1:你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交..OBCA√辨别是非如图所示的角，哪些是圆周角√√探索2:如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想想看，∠ACB会是怎样的角？OCBA解：∠ACB是直角（90°）∵OA=OB=OC∴∠1=∠2,∠3=∠4又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°∴∠ACB=∠2+∠3=180°÷2=90°半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°90°的圆周角所对的弦是圆的直径1234C′类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?红烛课件网提供!OCBA探索3:思考：半圆所对的圆周角与它所对的圆心角有关系吗？讨论：对于一般的弧所对的圆周角，又有怎样规律呢？画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.1.同一条弧你能画多少个圆周角?多少个圆心角?用量角器量一量这些圆周角你有何发现？2.再用量角器量出圆心角的度数,你有何发现呢?猜想:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ABO探索4:猜想：在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相等3.虽然一条弧所对的圆周角有无数个,但它们与圆心的位置有几种情况?OABCOABCOABC（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部．问题解决：你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？ABCOABCOABCO分三种情况来证明：（1）圆心在∠BAC的一边上.AOBC12证明:∵OA=OC∴∠C=∠BAC∵∠BOC=∠BAC+∠C∴∠BAC=∠BOC（2）圆心在∠BAC的内部.OABCD1212证明:作直径AD.∵∠BAD=∠BOD∠DAC=∠DOC∵∠BAD+∠DAC=（∠BOD+∠DOC）即:∠BAC=∠BOC1212OABC（3）圆心在∠BAC的外部.D证明:作直径AD.∵∠DAB=∠DOB∠DAC=∠DOC∴∠DAC-∠DAB=（∠DOC-∠DOB）即:∠BAC=∠BOC12121212结论在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；ABOCDE结论：在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等。21∠D=∠AOB21∠E=∠AOB∠C=∠AOB21∠D=∠E∠C=圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？D12345678ABC∠1＝∠4∠2＝∠7∠3＝∠6∠5＝∠8解：2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___；OABC1.求圆中角X的度数BAO.70°xAO.X120°练习:130°35°120°4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=__；3.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______；20°25°练习:圆周角定理在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。应用举例解例2如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．图23.1.12∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角)∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－80°－90°＝10°例3试分别求出图中∠x的度数。5.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°，求∠BOC的度数。∠BOC=140°练习:⌒⌒1.如图，在⊙O中，BC=2DE，∠BOC=84°，求∠A的度数。∠A=21°2.如何找到一个圆形零件的圆心位置？有什么简捷的方法？思考:如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。DCBAO如图，你能找出∠A与∠C之间的数量关系吗？∠B与∠D呢？圆内接四边形的对角互补。练习三已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：⌒⌒BD=DE证明：连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴⌒⌒BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。ABCDE1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°90°的圆周角所对的弦是圆的直径小结:练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形。··APBCO证明：∵∠ABC和∠APC都是⌒所对的圆周角。AC∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）同理，∵∠BAC和∠CPB都是⌒所对的圆周角，BC∴∠BAC=∠CPB=60°。∴△ABC等边三角形。5.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直径.●OACBE6、以⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC，AB、AC交⊙O于D、E两点，求证：BD＝DE＝EC。7、如图，△ABC内接于圆，D是的中点，AD交BC于E求证：AB·AC＝AE·AD。21△ABD∽△AEC分析：要证AB·AC=AE·AD∠1=∠2∠C=∠DACADAEAB=