第三节三重积分(2)

机动目录上页下页返回结束第三节三重积分(二)一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结思考题机动目录上页下页返回结束一、利用柱面坐标计算三重积分.,sin,coszzyx设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P的极坐标为),,(则称为点M的柱面坐标.),,(z［变化范围］［与直角坐标的关系］0xzyM(ρ,,z)zρNxyz,20,0z机动目录上页下页返回结束.,sin,coszzyx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(Przxyzo机动目录上页下页返回结束dxdydzzyxf),,(.),sin,cos(dzddzfdxyzodzdd柱面坐标系中的体积元素为,dzdddv此即柱面坐标系下的三重积分表达式如图d与轴垂直方向的长为d纬线方向的宽为dzz轴方向的高为六面体近似看作长方体机动目录上页下页返回结束柱面坐标下的三重积分的计算仍然化为三次积分来进行，积分限是根据z,,在积分域Ω中的变化范围来确定的，以下举例说明的次序积分、后、次一般按先z先一先—z后二、后次—单积分二重积分（极坐标系下计算）【方法】【适用范围】1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束zyxyxIddd11Ω22所围锥面,zzyx:0xzy1DxyzIDd11dd12110220dd1dz)222(ln.Dxy:z10,20z=1锥面化为:ρ=z1.：下底：上顶用柱面坐标【例1】102)d111(2..【解】机动目录上页下页返回结束0xzy4Dxy2【例2】利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz所围闭域与平面是由曲面其中422zyxz【解】:Dxoy面得投影到将4:22yxD即20,20:D),(内任取一点在D轴平行的直线作与z外穿出从平面内，穿入从曲面422zyxz机动目录上页下页返回结束42020:2z则故420202zdzdd20420)16(21dd364]618[2062【思考】本题是否可考虑用截面法来求解？dzddzzdxdydz机动目录上页下页返回结束【例3】.0)(,222所围与由其中计算三重积分zyxRzzdvIxyz【解】20,0:)(RDxoyxy为圆面投影向)(xyDxyD[220RdzzRdRd02220)(21022Rz此时.414R【思考】是否也可考虑用截面法来求解？dd]I机动目录上页下页返回结束0xzy1Dxy3【解】由zzyxsincos,zz34222,3,1z知交线为【例4】计算zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.机动目录上页下页返回结束.20,3043:22，z22432030zdzddI.413因此机动目录上页下页返回结束二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标．就叫做点，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM),,(机动目录上页下页返回结束0xzyM(r,,)rNyxzxyzcossinrsinsinrcosr球面坐标机动目录上页下页返回结束rxzy为常数圆锥面；为常数r球面；为常数半平面．rxzy机动目录上页下页返回结束dxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为,sin2ddrdrdvdrxyzodrdsinrrdddsinr如图，此即球面坐标下三重积分表达式六面体近似看作长方体rd经线方向长为drsin纬线方向的宽为dr向径方向的高为机动目录上页下页返回结束【注】(1)),(rr其边界曲面方程为域，是包围原点在内的闭区若则ddrdrrFIsin),,(2),(02020sinrdrrFdd球面坐标下的三重积分的计算.的三次积分进行计算、最后对、次对一般按照化为先对r,r0.20,0【规定】机动目录上页下页返回结束(3))2(1),,(即得球的体积时，由当zyxf34sin302020adrrddVa(2)围成时由球面当aradrrFddI02020sin其中)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfrF机动目录上页下页返回结束【例5】.所围立体的体积的内接锥面的球面与半顶角为求半径为a【解】如图建立坐标系cos2ar球面方程为锥面方程为cos20020:arxoyza2rMrrvdddsind2机动目录上页下页返回结束则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a0dsin20d)cos1(3443a机动目录上页下页返回结束【例6】计算dxdydzyxI)(22，其中是锥面222zyx，与平面az)0(a所围的立体.【解1】采用球面坐标az,cosar222zyx,4,20,40,cos0:ar机动目录上页下页返回结束dxdydzyxI)(22drrdda40cos03420sinda)0cos(51sin255403.105a机动目录上页下页返回结束【解2】采用柱面坐标,:222ayxDdxdydzyxI)(22aradzrrdrd2020adrrar03)(2]54[254aaa.105a222zyx,rz,20,0,:arazr机动目录上页下页返回结束【例7】求曲面22222azyx与22yxz所围成的立体体积.【解】由锥面和球面围成，采用球面坐标，由22222azyx,2ar22yxz,4,20,40,20:ar机动目录上页下页返回结束由三重积分的性质知dxdydzV,adrrddV202020sin44033)2(sin2da.)12(343a机动目录上页下页返回结束【练习】球坐标下确定积分限练习，1为全球体2为空心球体3为上半球体4为右半球体5为球体的第一、二卦限部分rφrfφθIRππdsindd0202042222为洞添加RzyxrφrfφθIRRππdsindd22020rφrfφθIRππdsindd022020rφrfφθIRππdsindd0200rφrfφθIRππdsindd02200.....2222RzyxzyxzyxfIddd),,(求机动目录上页下页返回结束【补充：利用对称性化简三重积分计算】使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.奇偶性．机动目录上页下页返回结束【补例1】利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.【解】积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz教材总习题九P124第7题(2)机动目录上页下页返回结束【解】2)(zyx)(2222zxyzxyzyx【补例2】计算dxdydzzyx2)(其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.其中yzxy是关于y的奇函数,且关于zox面对称,0)(dvyzxy,同理zx是关于x的奇函数,且关于yoz面对称,,0xzdv机动目录上页下页返回结束由对称性知dvydvx22,则dxdydzzyxI2)(,)2(22dxdydzzx在柱面坐标下：,20,10,222z,122yx投影区域xyD：2222222010)cos2(dzzddI).89290(60机动目录上页下页返回结束对称性简化运算三、小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束【思考题】则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若,),,(3zyxfxyR;0),,(,____),,(dvzyxfzyxf为奇函数时关于当1),,(___),,(,____),,(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时关于当.1面上方的部分在为其中xyzz2