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专题八:初中数学数形结合思想九年级数学集备组组员:郑步群、张彩霞、方国财知识梳理通过图形,探究数量关系,再由数量关系研究图形特征,使问题化难为易,由数想形、由形知数,这就是一种数形结合思想。数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的.华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休.”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想.典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简2aab=_________.【例2】如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n条“金鱼”需要火柴________根.二、在方程、不等式中的应用【例3】已知关于x的不等式组020xax的整数解共有2个,则a的取值范围是.【例4】用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是()A.203210xyxyB.2103210xyxyC.2103250xyxyD.20210xyxy【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若关于x的方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为()A.k3B.k=3C.k3D.无法确定三、在函数中的应用【例6】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:①ac0②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3③a+b+c0④当x1时,y随x的增大而增大。正确的说法有_________.(把正确的答案的序号都填在横线上)【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示,为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面2103米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误,(1)求这条抛物线的解析式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是如图抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3导米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.【分析】(1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标,如起跳点O(0,0),入水点(2,-10),最高点的纵点标为23.(2)求出抛物线的解析式后,要判断此次跳水会不会失误,就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米,3332155x时,该运动员距水面高度与5米的关系.四、在概率统计中的应用【例8】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息;(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图,并说明这两幅统计图各有什么特点;(3)请你根据上述数据,对该报社提出一条合理的建议.综合训练1.“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P所表示的数是2”,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做()A.代入法B.数形结合C.换元法D.分类讨论2.如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温,那么这天的最高气温比最低气温高()A.5℃B.7℃C.12℃D.-12℃3.某人从A地向B地打长途电话6分钟,按通话时间收费,3分钟以内收费2.4元,此后每加1分钟加收1元,则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是()4.若M112y,,N214y,,312y,三点都在函数kyx(k0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为()A.y2y3y1B.y2y1y3C.y3y1y2D.y3y2y15.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.若不等式组302741xaxx的解集为x0,则a的取值范围为()A.a0B.a=0C.a4D.a=47.福娃们在一起探讨研究下面的题目:函数y=x2-x+m(m为常数)的图象如图所示,如果x=a时,y0;那么x=a-1时,函数值()A.y0B.0ymC.ymD.y=m下面是福娃们的讨论,请你解答该题.贝贝:我注意到当x=0时,y=m0.晶晶:我发现图象的对称轴为x=12欢欢:我判断出x1ax2.迎迎:我认为关键要判断a-1的符号.妮妮:m可以取一个特殊的值.8.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=150°,OA=OB=2,则点A、B的坐标分别是和9.在边长为a的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形(ab)如图1,把余下的部分剪拼成一个矩形如图2,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是____10.如图,已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P,则不等式x+bax+3的解集为______.11.方程组211yxyx的解是______.12.如图,为实数a、b在数轴上的位置,化简222abab.13.(1)阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB.当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,ABOBbab;当A、B两点都不在原点时,①如图2,点A、B都在原点的右边ABOBOAbabaab;②如图3,点A、B都在原点的左边,ABOBOAbabaab;③如图4,点A、B在原点的两边,ABOBOAababab.(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______;②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是__,如果2AB,那么x为__③当代数式12xx取最小值时,相应的x的取值范围是_14.某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图,图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据.根据上述信息,回答下列问题:(1)该厂第一季度__月份的产量最高.(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的_____%.(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样,抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计:该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)15.如图所示,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8;设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式224129xx的最小值.16.如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
本文标题:专题八初中数学数形结合思想
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