13. 2012年全国高中数学联赛甘肃预赛

预赛试题集锦（2013）高中竞赛1思维的发掘能力的飞跃2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛一．填空题（每小题7分，共56分）1.空间四点ABCD，，，两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为_______．2.向量(10)OA，，(11)OB，，O为坐标原点，动点Pxy，满足0102OPOAOPOB≤≤≤≤，则点()Qxyy，构成的图形的面积为_______．3.设有非空集合1234567A，，，，，，，且当aA时，必有8aA，这样的集合A的个数是_______．4.设0()(1)0xxxfxfxx，，≤＞，其中[]x表示不超过x的最大整数，若()(0)fxkxkk＞有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是_______．5.11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4个数字只能是135，，且都至少出现1次，这样的手机号码有_______个．6.若122012tantantan1xxx，则122012sinsinsinxxx的最大值是_______．7.设函数:fRR，满足01f（），且对任意,xyR都有1()()()2fxyfxfyfyx（），则()fx_______．8.实数xyz，，满足2221xyz，则xyyz的最大值为_______．二．解答题（共64分）9.(本题满分14分)已知数列na满足*111()1nnnnaannaaN，且26a．（1）求数列na的通项公式；（2）设*nnabncncN，为非零常数，若数列nb是等差数列，记2nnnbc，12nnSccc，求nS．10.(本题满分14分)M是抛物线22(0)ypxp＞的准线上任意点，过M作抛物线的切线12ll，，切点分别为,AB(A在x轴上方)．（1）证明：直线AB过定点；（2）设AB的中点为P，求||MP的最小值．预赛试题集锦（2013）高中竞赛2思维的发掘能力的飞跃11.(本题满分18分)设abc，，为正实数，且1abc，求证：2221()2abcabcbcacab≥．12.(本题满分18分)某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师．在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题．试求mn，的值．