第10讲 函数的值域与最值(两课时)

理解函数的值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段．0011________________.2()()_______.yfxIMxIfxMxIfxMMyfxfx函数的值域是①的集合，它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的②函数的最值．设函数的定义域为，如果存在实数满足：ⅰ对于任意的，都有；ⅱ存在，使得，则称是函数的③类似地可定义．函数的值域与最值的最小值．函数值定义域最大值21(0).2(?0)0__________0__________.3(0)________.2ykxbkyaxbxcaaakykx一次函数的值域为④二次函数的值域：当时，值域为⑤；当时，值域为⑥反比例函数．基本初等函数的值域的值域为⑦R24[)4acba，24(]4acba，{|0}yy4(01)________.5log(01)______.6sin(R)cos(R)_________tan(Z)2__________.xayaaayxaayxxyxxyxxkk指数函数且的值域为⑧对数函数且的值域为⑨正、余弦函数的值域为⑩；正切函数，的值域为11(0)，R1,1R1234563()4[[78]]9fxabfxab二次函数用配方法．单调性法．导数法．观察法．（）分离常数法；（）换元法；（）数形结．求函数的值域最值常用的方法．若为闭区间，上的连续函数，则在合法；（），基本不等上式法；（）判别式法一定有最大等．、最小值．一、配方法形如y=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域,要注意f(x)的取值范围.例1(1)求函数y=x2+2x+3在下面给定闭区间上的值域:二、换元法通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).例2求下列函数的值域:(1)y=x-x-1;(2)y=x+2-x2;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx+1.①[-4,-3];②[-4,1];③[-2,1];④[0,1].[6,11];[2,11];[2,6];[3,6].34[,+∞)(2)求函数y=sin2x+4cosx+1的值域.[-3,5].[0,+2]32[-2,2]三、观察法四、分离常数法、反函数法利用已知函数的值域及不等式的性质直接观察求出给定函数的值域.例3求下列函数的值域:2x+12x(1)y=;sinx-3(2)y=;sinx+2(3)y=3+2+x+2-x;bg(x)例4求下列函数的值域:2x+12x(1)y=;sinx-3(2)y=.sinx+2(0,1)32[-,-]14(0,1)32[-,-]147879[,][5,3+22](4)若f(x)的值域为[,],求y=f(x)+1-2f(x)的值域.4938主要适用于具有分式形式的函数解析式,通过变形,将函数化成y=a+的形式.)0(abaxdcxy五、判别式法例5求函数y=的值域.x2+x+1x2-x主要适用于形如y=(a,d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零；分子、分母没有公因式).ax2+bx+cdx2+ex+f六、均值不等式法(1)y=;x2+12x例6求下列函数的值域:(2)y=(x1).x-1x2-2x+5[-1,1][4,+∞)能转化为A(y)x2+B(y)x+C(y)=0的函数常用判别式法求函数的值域.利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域.要注意满足条件“一正、二定、三等”.[1-,1+]233233例7已知,03x则29xxy的最小值为29七、利用函数的单调性八、数形结合法主要适用于(1)y=ax+b+cx+d(ac0)形式的函数;(2)利用基本不等式不能求得y=x+(k0)的最值(等号不成立)时.kx例7求下列函数的值域:(1)y=1-2x-x;(2)y=x+(0x≤1);4x12[-,+∞)[5,+∞)当函数的解析式明显具备某种几何意义,像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.例8求下列函数的值域:(1)y=|x-1|+|x+4|;sinx-3(2)y=;2+cosx(3)y=2x2-6x+9+2x2-10x+17;(4)若x2+y2=1,求x+y的取值范围;(5)若x+y=1,求x2+y2的取值范围.[5,+∞)12[,+∞)(0,3](3)y=x+3-x.[-2-,-2+]233233[25,+∞)[-2,2]九、导数法对于可导函数,可利用导数的性质求出函数的最值,进而求得函数的值域.例9求下列函数在给定区间上的值域:(2)y=x5-5x4+5x3+2,x∈[-1,2].(1)y=x+,x∈[1,4];4x[4,5][-9,3]1.求下列函数的值域:值域课堂练习题(1)y=;x-23x+1(2)y=2x+41-x;(3)y=x+1-x2;(1)(-∞,3)∪(3,+∞)(2)(-∞,4](4)[3,+∞)(4)y=|x+1|+(x-2)2;(3)[-1,2](5)y=;2-cosxsinx(6)y=;x2+x+12x2-x-2(7)y=(x≤);2x-12x2-x+11232(8)y=x+x+1;(9)y=;2+sinx2-sinx(10)y=x2+4+(x+1)2+9.(8)[-1,+∞)(9)[,3]13(10)[26,+∞)(5)[-,]3333(6)[,]1+21331-2133(7)[,+∞)1+222（明天上午早读课前要上交）考向一利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或fx1fx2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等．【练习】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解(1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则x1x2＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，所以fx1x2＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由fx1x2＝f(x1)－f(x2)得，f93＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.三函数的值域与最值的综合应用【例3】已知△ABC是边长为2的正三角形，P、Q依次是AB、AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP＝x，AQ＝t，PQ＝y，求：(1)t关于x的函数关系式，并写出函数的值域；(2)y关于x的函数关系式，并求出y的最大值和最小值．【解析】(1)因为S△ABC＝3，所以12xtsin60°＝32，所以xt＝2，t＝2x，因为t≤2，所以2x≤2，所以x≥1.又x≤2，所以1≤x≤2，所以t关于x的函数是t＝2x(1≤x≤2)，由单调性可知，其值域是[1,2]．(2)因为y2＝x2＋t2－2xtcos60°＝x2＋4x2－2，又y0，所以y＝x2＋4x2－2(1≤x≤2)．令f(t)＝t＋4t，易证f(t)在(0,2]上是减函数，[2，＋∞)上是增函数．因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以当x2＝2，即x＝2时，x2＋4x2有最小值4，此时，y取最小值2；当x2＝1或x2＝4，即x＝1或x＝2时，x2＋4x2取最大值5，此时y取最大值3.【点评】函数的值域与最值，常与不等式、方程及函数的其他性质综合．解决此类题型时要注意遵循“定义域优先”的原则，注意应用换元、配凑等技巧，从而简化问题．备选例题已知函数f(x)＝|1－1x|(x0)．(1)当0ab，且f(a)＝f(b)，求证：1a＋1b＝2；(2)是否存在实数a、b(ab)使得函数y＝f(x)的定义域、值域都是[a，b]；若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由．【分析】首先化简函数解析式，判断函数的单调性，利用单调性求解，注意思维的严谨性和敏捷性，要数形结合，分类讨论．【解析】(1)证明：因为f(x)＝|1－1x|＝1x－10x≤11－1xx1，故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0ab和1a－1＝1－1b，得1a＋1b＝2.(2)假设存在这样的实数a、b(ab)使得函数y＝f(x)的定义域、值域都是[a，b]．①当0ab≤1时，函数f(x)＝1x－1在(0,1]上是减函数，则fa＝bfb＝a，即1a－1＝b1b－1＝a，解得a＝b，与0ab≤1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a、b.②当1ab时，函数f(x)＝1－1x在(1，＋∞)上是增函数，则fa＝afb＝b，即1－1a＝a1－1b＝b，此时实数a、b为方程x2－x＋1＝0的两根，但方程x2－x＋1＝0无实根，因此不存在满足条件的实数a、b.③当0a1b时，此时显然1∈[a，b]，而f(1)＝0∉[a，b](a0)，故此时不存在满足条件的实数a、b.综合①②③可得，满足条件的实数a、b不存在．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，g(x)＝2lg(2x＋t)，t为参数．(1)写出函数f(x)的定义域，值域；(2)当x∈[0,1]时，g(x)有意义，求参数t的取值范围；(3)当x∈[0,1]时，若f(x)≤g(x)，求参数t的取值范围．素材3【解析】(1)由x＋10，知x－1，所以定义域为(－1，＋∞)，值域为R.(2)若x∈[0,1]，由g(x)有意义，则2x＋t0，即t－2x在[0,1]上恒成立．而(－2x)max＝0，所以t0，即t的取值范围是(0，＋∞)．由x∈[0,1]，则x＋1∈[1，2]，所以umax＝－2(1－14)2＋178＝1，所以t≥1，即参数t的取值范围是[1，＋∞)．(3)由f(x)≤g(x)，即lg(x＋1)≤2lg(2x＋t)，即x＋1≤2x