选修2-2―― 综合法和分析法

2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法1．问题导航(1)什么是综合法，什么是分析法？两种证明方法的特点是什么？(2)综合法的推理过程是什么？(3)综合法与分析法有什么区别和联系？2．例题导读通过P85例1的学习，应学会利用综合法证明数学问题的思路和方法及推理步骤．通过P87例2和P88例3的学习，学会分析法证明数学问题的思路、方法和推理模式．1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义推证过程特点从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件逆推证法或执果索因法1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()(3)分析法就是从结论推向已知．()(4)所有证明的数学问题均可使用分析法证明．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．综合法是()A．执果索因的逆推证法B．由因导果的顺推证法C．因果分别互推的两头凑法D．原命题的证明方法答案：B3．要证明a＋a＋7a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案：C4．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导，得f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论，应用了综合法的证明方法．答案：综合法1．综合法是一种直接证明的方法，是由已知推出正确结论的推理过程．它的基本思路是“由因导果”，由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后推出待证的问题．其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件，综合法又叫顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．2．分析法是数学中常用的一种直接证明方法．它是从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理，简单地说，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件．分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．3．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，是解决数学问题的常用的思维方法．一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．4．综合法、分析法的区别综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考表述形式形式简洁，条理清晰叙述烦琐，易出错思路的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息综合法(1)在锐角三角形中，求证：sinA＋sinB＋sinCcosA＋cosB＋cosC.[证明]∵在锐角三角形中，A＋Bπ2，∴Aπ2－B.∴0π2－BAπ2，又∵在0，π2内正弦函数是单调递增函数，∴sinAsinπ2－B＝cosB，即sinAcosB．①同理sinBcosC，②sinCcosA．③由①＋②＋③，得sinA＋sinB＋sinCcosA＋cosB＋cosC.(2)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．求证：①CM∥平面PAD；②平面PAB⊥平面PAD.[证明]①以C为原点，以CD、CB、CP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)．由∠PBC＝30°，|PC|＝2，得|BC|＝23，|PB|＝4，不难得到D(1，0，0)，B(0，23，0)，A(4，23，0)，P(0，0，2)，M0，32，32.设CM→＝xDP→＋yDA→，则x＝34，y＝14.∴CM→，DP→，DA→共面．∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.②作BE⊥PA于点E(图略)，∴E(2，3，1)，BE→＝(2，－3，1)．∴BE→·DA→＝0，∴BE⊥DA.又∵BE⊥PA，∴BE⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.利用综合法证明数学问题的三个步骤分析条件选择方向―→仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法↓转化条件组织过程―→把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路↓适当调整回顾反思―→解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取1．(1)求证：当x∈R时，x23x－3.证明：∵x2－(3x－3)＝x2－3x＋3＝x－322＋34，又∵x∈R，∴x－322≥0，∴x－322＋340，即x2－(3x－3)0，∴x23x－3.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，且m≠－3.①求证：{an}是等比数列；②若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝32f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求证：1bn为等差数列．证明：①由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，m≠－3，∴an＋1an＝2mm＋3，∴{an}是等比数列．②∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，∴a1＝1.b1＝a1＝1，q＝f(m)＝2mm＋3，∴当n∈N且n≥2时，bn＝32f(bn－1)＝32·2bn－1bn－1＋3，∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，∴1bn－1bn－1＝13.∴1bn是首项为1，公差为13的等差数列．分析法若a0，求证：a＋a＋3a＋1＋a＋2.[证明]要证a＋a＋3a＋1＋a＋2，只需证(a＋a＋3)2(a＋1＋a＋2)2，即证2a＋3＋2a（a＋3）2a＋3＋2（a＋1）（a＋2），只需证2a（a＋3）2（a＋1）（a＋2），只需证a（a＋3）（a＋1）（a＋2），只需证a2＋3aa2＋3a＋2，只需证02，因为02显然成立，所以a＋a＋3a＋1＋a＋2成立．分析法证明数学问题的范围、方法、技巧2．(1)已知α，β均为锐角，且α＋β≠π2，(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，求证：α＋β＝π4.证明：要证α＋β＝π4，由于α，β均为锐角，所以只需证tan(α＋β)＝1，即证tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，只需证tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1，∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，∴tanα＋tanβ＋tanα·tanβ＝1成立，∴α＋β＝π4得证．(2)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.证明：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，只需证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是证ca＋b＋ab＋c＝1.只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，需证b2＝c2＋a2－2ac·cos60°，需证B＝60°.∵A、B、C成等差数列，∴B＝60°，∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.综合法与分析法的综合应用设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：fx＋12为偶函数．[证明]法一：要证fx＋12为偶函数，只需证明其图象的对称轴为y轴，即只需证－b2a－12＝0，只需证a＝－b.由已知，得抛物线f(x＋1)的对称轴x＝－b2a－1与抛物线f(x)的对称轴x＝－b2a关于y轴对称，∴－b2a－1＝－－b2a.于是得a＝－b.∴fx＋12为偶函数．法二：记F(x)＝fx＋12，欲证F(x)为偶函数，只需证F(－x)＝F(x)，即只需证f－x＋12＝fx＋12，由已知，函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(－x)的图象也是关于y轴对称的，∴f(－x)＝f(x＋1)．∴f－x＋12＝f－x－12＝fx－12＋1＝fx＋12，∴fx＋12为偶函数．一方面从问题的已知条件出发，经逻辑推演导出中途结果，另一方面从问题的结论出发，回溯到中途，即导出同一个中途结果，从而沟通思路使问题得到解决．3．(1)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.证明：要证lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc，只需证lga＋b2·b＋c2·c＋a2lg(abc)，只需证a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.因为a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，c＋a2≥ca0，且上述三式中的等号不全成立，所以a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.因此lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.(2)在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．证明：由已知得2a＝x＋y，b2＝cx，c2＝by，∴x＝b2c，y＝c2b，即x＋y＝b2c＋c2b，从而2a＝b2c＋c2b.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥（b＋1）（c＋1）成立．只需证a＋1≥（b＋1）＋（c＋1）2即可．也就是证2a≥b＋c.而2a＝b2c＋c2b，则只需证b2c＋c2b≥b＋c成立即可，即证b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0成立，上式显然成立，∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．规范解答综合法在几何证明中的应用(本题满分12分)如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.[证明](1)因为OA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD.2分因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD又OA∩AC＝A，所以BD⊥平面ACO.4分又因为BD⊂平面BDO，所以平面BDO⊥平面ACO.6分(2)取OD的中点M，连接EM，CM，则ME∥AD，ME＝12AD.7分因为ABCD是菱形，所以AD∥BC，AD＝BC，因为F为BC的中点，8分所以CF∥AD，CF＝12AD，所以ME∥CF，ME＝CF10分所以四边形EFCM是平行四边形，所以EF∥MC.又因为EF⊄平面OCD，MC⊂平面OCD.所以EF∥平面OCD.12分[规范与警示](1)在处易忽略“菱形”这一条件的运用导致无法证明面面垂直．在处往往不能正确的构造出平行四边形导致无法得到线线平行，最后导致第(2)问结论无法证出．(2)几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线的作法，寻找好定理所需的条件，如本例中构造平行四边形说明线线平行．同时证明时要