数学培优竞赛新方法(九年级)-第14讲-锐角三角函数

第14讲锐角三角函数知识纵横古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的cottancossin、、、的通用形式。三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质：1.单调性2.互余三角函数间的关系3.同角三角函数之间的关系。平方关系1cossin22aa商数关系aaaaasincoscot,cossintan倒数关系1cottanaa例题求解【例1】（1）如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且MBCNMB,则ABMtan的值为.（全国初中数学联赛题）(2)已知在ABC中，BA、是锐角，且135sinA，则ABCS=.（黄冈市竞赛题）思路点拨对于（1），由MBCNMB，分别延长MNBC、交于T，可构造等腰三角形，作ABTE于D，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过C作ABCD于D，这样由三角函数定义得到线段的比，135sinACCDA,2tanBDCDB,设nBDnCDcmACcmCD,2,13,5，解题的关键是求出nm、的值。【例2】如图，在ABC中，90ACB，15ABC，1BC则AC=A.32B.32C.3.0D.23（全国初中数学联赛试题）【例3】如图，在直角坐标系中，已知ABCRt中，90ACB,点CA、的坐标分别为43tan),01()0,3(BACCA，、（1）求过点BA、直线的函数表达式.（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标.（3）在（2）的条件下，如果QP、分别是AB和AD的动点，连接PQ，设mDQAP，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，求出m的值，如不存在，请说明理由。（济南市中考题）思路点拨对于（3），根据相似三角形的传递性，把APQ与ADB相似的问题转化为APQ与ABC相似的问题，按直角顶点分情况讨论。解本例的关键是：A是三个直角三角形的公共角，其正切值贯穿解题的始终。【例4】已知⊙O过点3),D(4，点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）．（1）求⊙O半径；（2）HAOsin的值；（3）如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点FE、是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DFDE,交⊙O于点CB,，直线BC交y轴于点G，若DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索CGOsin的大小怎样变化？请说明理由．（宁波市中考题）思路点拨连DHOH、,运用切线性质、垂径定理是解题的基础。对于（3），通过角的转化，设法计算CGOsin的值。【例5】已知：在ABCRt中，90C，BAsin,sin是方程02qpxx的两个根．（1）求实数qp、应满足的条件；（2）若qp、满足（1）的条件，方程02qpxx的两个根是否等于ABCRt中两锐角A、B的正弦？（江苏省竞赛题）思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立qp、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出qp、实数应满足的条件。正弦、余弦的有界性【例6】设cba、、是直角三角形的三边，c为斜边，整数3n，求证：nnncba（福建省竞赛题）学历训练基础夯实1.如图，已知AB是的直径，弦ABCD,22AC,1BC,那么ABDsin的值是（成都市中考题）2.如图2，AOB是放置在正方形网格中的一个角，则AOBcos的值是。（济南市中考题）3.如图3，在ABC中，120B,5,7ABAC，则ABC的面积为。（2011年昆明市中考题）4.在ABC中，BA、均为锐角，33,6BCAC,且33sinA,则Bcos的值为（2008年浙江省中考题）5.如图，在ABC中，32,23tan,30ACBA,则AB=()A.4B.5C.6D.7（安徽省中考题）第1题第2题第3题第5题第6题第7题6.如图，在图，在ABC中，2,4,120ACABA,则Bsin的值是（）A.14175B.53C.721D.1421（2011年荆州市中考题）7.如图，CD是平面镜，光线从点出发经上的点反射后照射到点，若入射角为（入射角等于反射角），于，于，且11,6,3CDBDAC,则atan的值为（）A.311B.113C.119D.911（重庆市中考题）8.如图，直角三角纸片的两直角边长分别为86、，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则CBEtan的值是（）A.724B.37C.247D.31（泰安市中考题）9.如图，等腰梯形ABCD中，45,//DBCBCAD,翻折梯形ABCD，使点B重合于D点，折痕分别交边BCAB、于点EF、，若8,2BCAD，求（1）BE的长；（2）CDE的正切值。（上海市中考题）10.如图，在ABC中，,ACAB以AB直径的分别交BCAC、于点ED、，点F在AC延长线上，且CABCBF。求证：(1)直线BF是⊙O的切线。(2)若55sin,5DBCAB，求BE和BF的长。（2011年北京市中考题）11.如图，在直角梯形ABCD中，54sin,10,90,//CADBCABCAD.（1）求梯形ABCD的面积；（2）点FE、分别是CDBC、上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动。若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF，求EFC面积的最大值，并说明此时FE、的位置。（济南市中考题）第10题第11题能力拓展12.若450且sin,1673cossin则。（武汉市选拔赛试题）13.已知BA、是两个锐角，且满足2222243sincos,45cossintAAtAA，则实数t所有可能值的和为。（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）14.如图，等腰直角三角形ABC中，90C,D为BC的中点，将ABC折叠，使点A与点D重合。若EF为折痕，则BEDsin的值为，DFDE的值为.（第19届江苏省竞赛题）15.如图，在ABC中，D为边上BC的一点，,2,120,21ADADBDCBD若ADC的面积为33，则BAC=。（2011年四川省竞赛题）16.如图，在梯形ABCD中，,2,,//ADCDBCCDADBCADE是CD上的一点，45ABE则AEBtan的值等于（）。A.23B.2C.25D.3第14题第15题第16题（天津市竞赛题）17.如图，已知ABC为等腰直角三角形，若,31,31BCCEACAD则1和2的大小关系为（）。A.21B.21C.21D.无法确定18.已知m为实数，且cossin、是关于x的方程0132mxx的两根，则44cossin的值为（）。A.92B.31C.97D.1（全国初中数学联赛题）19.如图，锐角ABC中，EFBE、分别是ABAC、上的高，则ABCSAEFS:（）。A.A2sinB.A2cosC.A2tanD.A2cot20.如图，在ABCRt中，DECD、分别是斜边AB上的高和中线，)(,abbACaBC，若21tanDCE,求ba的值。（第18届江苏省竞赛题）21.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于B点。延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E。（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若21tanABE，求Esin的值。（2011年武汉市中考题）第19题第20题第21题综合创新22.设角A为锐角，求证：A,求证：2cossin1BA23.如图，在ABCRt中，90ACB,半径长为1的圆A与边AB相交于点D，与边A相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P。（1）当30B时，连接AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若BCBDCE,2，求BPD的正切值；（3）若31tanBPD，设ABCxCE,的周长为y，求y关于x的函数解析式。（上海市中考题）