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第11讲代数最值知识纵横在生活实践中,人们经常面对带有“最’字的问题,如在一定的方案中,花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等;解数学题时,我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要讨论的最值问题,求最值问题的方法归纳起来有如下几点;1.运用配方法求最值2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值3.建立函数模型求最值4.利用基本不等式或不等式分析法求最值例题求解【例1】实数x、y满足06222yxx,则xyx222的最大值是(江苏省竞赛题)思路点拨解题的关键是由02y可得x取值的隐含制约。【例2】分式222211651305yxyxyxyx的最小值为()A、-5B、-3C、5D、3(太原市竞赛题)思路点拨原式=22211645yxyxy。【例3】(1)设a、b为实数,求代数式bababa222的最小值。(全国初中数学联赛题)(2)实数x、y、z满足5zyx,3xzyzxy,求z的最大值。(全国初中数学联赛题)思路点拨对于(1),引入参数设tbababa222,将等式整理成关于a的二次方程0)2()1(22tbbaba,利用判别式求最小值,对于(2),zyx5,35)5(3)(32zzzzyxzxy,运用韦达定理构造方程。【例4】(1)已知211xxy的最大值为a,最小值为b,则22ba的值。(2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题)(2)求使16)8(422xx取得最小值的实数x的值。(全国初中数学竞赛题)思路点拨解与二次根式相关的最值问题,除了利用函数增减性、配方法等基本方法外,还有下列常用方法:平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。【例5】已知122ba,对于满足条件1yx,0xy的一切实数对(x,y),不等式022bxxyay恒成立,当乘积ab取最小值时,求a、b的值。(全国初中数学联赛题)分析将y=1-x代入不等式得:0)12()1(2axaxba,此不等式对于满足条件的实数对(x,y)恒成立,于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。解由1yx,0xy知10,10yx。令x=0,y=1,得0a;令x=1,y=0,得0b,从而01ba,112120baa。故二次函数axaxbay)12()1(2的图象的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间。又原不等式对于满足条件10x的一切实数x恒成立。所以)1(4)12(2baa0a,即41ab由41122abba得426426ba或426426ba离散最值【例6】已知a、b、c为正整数,且222cba,求c的最小值。(全国初中数学竞赛题)分析与解若取222bacbac,则212bbc,由小到大考察b,使21bb为完全平方数,当b=8时,362c,则c=6,从而a=28,下表说明c没有比6更小的正整数解。显然,表中34xc的值均不是完全平方数,故c的最小值为6.c4c)(433cxx34xc2161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113思路点拨从222))((bacac入手。学力练习基础夯实1、(1)设x为正实数,则函数xxxy12的最小值是。(2)函数)0(189xxxy的最大值是2、若实数x、y满足方程35322xyyx,则xy的最大值为(第19届香港中学竞赛题)3、已知实数a、b、c满足6,0222cbacba,则a的最大值为(第17届江苏省竞赛题)4、已知x、y、z为三个非负实数,且满足2,523zyxzyx,若zyxs2,则s的最大值与最小值的和为()A、5B、423C、427D、435(天津市选拔赛试题)5、若32211zyx,则222zyx可取得的最小值为()A、3B、1459C、29D、66、正实数x、y满足1xy,那么44411yx的最小值为()A、21B、85C、1D、45E、2(黄冈市竞赛题)7、(1)求函数253xxy在53x时的最值。(2)求143322xxxxy的最大值。8、求5632xxy的最小值。9、在直角坐标系xoy中,一次函数)0(2kbkxy的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,且使得3OBOASOAB.(1)用b表示k;(2)求OAB面积的最小值。(浙江竞赛题)能力拓展10、设1x,2x是关于x的一元二次方程22aaxx的两个实数根,则))(2(1221xxxx的最大值为11、若抛物线1)1(2kxkxy与x轴的交点为A、B,顶点为C,则ABC的面积最小值为12、已知实数a、b满足122baba,且22baabt,则t的最大值为最小值为(“TI杯”全国初中数学竞赛题)13、设x、y、z为正数,且4)(zyxxyz,则))((zyyx的最小值是(“宇振杯”上海市竞赛题)14、已知3a,3b,且1kba,3ab,则k的最小整数值是(海南省竞赛题)15、已知xxy41,那么y的最大值和最小值的差为(武汉市竞赛题)16、已知1x,2x,mx都是正整数,且5821mxxx,若22221mxxx的最大值为A,最小值为B,则A+B的值为(全国初中数学竞赛题)17、设实数a、b满足0105810322bababa,求27292bau的最小值。(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题)18、已知a、b、c是正整数,且二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个不同的交点A、B,若点A、B到原点的距离都小于1,求cba的最小值。(天津市竞赛题)综合创新19、设1x,2x,nx是整数,并且满足:(1)21ix,ni,,2,1;(2)1921nxxx(3).9922221nxxx求33231nxxx的最大值和最小值。(国家理科实验班招生试题)20、已知实数a、b、c、d使得方程))((24))((dxcxbxax对一切实数x均成立,那么当代数式1088442222dcbacdabdcba取得最小值时,dcba的值为多少?(河南省竞赛题)
本文标题:数学培优竞赛新方法(九年级)-第11讲-代数最值
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