数学培优竞赛新方法(九年级)-第11讲-代数最值

第11讲代数最值知识纵横在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;1.运用配方法求最值2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值3.建立函数模型求最值4.利用基本不等式或不等式分析法求最值例题求解【例1】实数x、y满足06222yxx，则xyx222的最大值是（江苏省竞赛题）思路点拨解题的关键是由02y可得x取值的隐含制约。【例2】分式222211651305yxyxyxyx的最小值为（）A、-5B、-3C、5D、3（太原市竞赛题）思路点拨原式=22211645yxyxy。【例3】（1）设a、b为实数，求代数式bababa222的最小值。（全国初中数学联赛题）（2）实数x、y、z满足5zyx，3xzyzxy，求z的最大值。（全国初中数学联赛题）思路点拨对于（1），引入参数设tbababa222，将等式整理成关于a的二次方程0)2()1(22tbbaba，利用判别式求最小值，对于（2），zyx5，35)5(3)(32zzzzyxzxy，运用韦达定理构造方程。【例4】（1）已知211xxy的最大值为a，最小值为b，则22ba的值。（2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）（2）求使16)8(422xx取得最小值的实数x的值。（全国初中数学竞赛题）思路点拨解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。【例5】已知122ba，对于满足条件1yx，0xy的一切实数对（x，y），不等式022bxxyay恒成立，当乘积ab取最小值时，求a、b的值。（全国初中数学联赛题）分析将y=1-x代入不等式得：0)12()1(2axaxba，此不等式对于满足条件的实数对（x，y）恒成立，于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。解由1yx，0xy知10,10yx。令x=0，y=1，得0a；令x=1，y=0，得0b，从而01ba，112120baa。故二次函数axaxbay)12()1(2的图象的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。又原不等式对于满足条件10x的一切实数x恒成立。所以)1(4)12(2baa0a，即41ab由41122abba得426426ba或426426ba离散最值【例6】已知a、b、c为正整数，且222cba，求c的最小值。（全国初中数学竞赛题）分析与解若取222bacbac，则212bbc，由小到大考察b，使21bb为完全平方数，当b=8时，362c，则c=6，从而a=28，下表说明c没有比6更小的正整数解。显然，表中34xc的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.c4c)(433cxx34xc2161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113思路点拨从222))((bacac入手。学力练习基础夯实1、（1）设x为正实数，则函数xxxy12的最小值是。（2）函数)0(189xxxy的最大值是2、若实数x、y满足方程35322xyyx，则xy的最大值为（第19届香港中学竞赛题）3、已知实数a、b、c满足6,0222cbacba，则a的最大值为（第17届江苏省竞赛题）4、已知x、y、z为三个非负实数，且满足2,523zyxzyx，若zyxs2，则s的最大值与最小值的和为（）A、5B、423C、427D、435（天津市选拔赛试题）5、若32211zyx，则222zyx可取得的最小值为（）A、3B、1459C、29D、66、正实数x、y满足1xy，那么44411yx的最小值为（）A、21B、85C、1D、45E、2（黄冈市竞赛题）7、（1）求函数253xxy在53x时的最值。（2）求143322xxxxy的最大值。8、求5632xxy的最小值。9、在直角坐标系xoy中，一次函数)0(2kbkxy的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，且使得3OBOASOAB.（1）用b表示k；（2）求OAB面积的最小值。（浙江竞赛题）能力拓展10、设1x，2x是关于x的一元二次方程22aaxx的两个实数根，则))(2(1221xxxx的最大值为11、若抛物线1)1(2kxkxy与x轴的交点为A、B，顶点为C，则ABC的面积最小值为12、已知实数a、b满足122baba，且22baabt，则t的最大值为最小值为（“TI杯”全国初中数学竞赛题）13、设x、y、z为正数，且4)(zyxxyz，则))((zyyx的最小值是（“宇振杯”上海市竞赛题）14、已知3a，3b，且1kba，3ab，则k的最小整数值是（海南省竞赛题）15、已知xxy41，那么y的最大值和最小值的差为（武汉市竞赛题）16、已知1x，2x，mx都是正整数，且5821mxxx，若22221mxxx的最大值为A，最小值为B，则A+B的值为（全国初中数学竞赛题）17、设实数a、b满足0105810322bababa，求27292bau的最小值。（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）18、已知a、b、c是正整数，且二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个不同的交点A、B，若点A、B到原点的距离都小于1，求cba的最小值。（天津市竞赛题）综合创新19、设1x，2x，nx是整数，并且满足：（1）21ix，ni,,2,1；（2）1921nxxx（3）.9922221nxxx求33231nxxx的最大值和最小值。（国家理科实验班招生试题）20、已知实数a、b、c、d使得方程))((24))((dxcxbxax对一切实数x均成立，那么当代数式1088442222dcbacdabdcba取得最小值时，dcba的值为多少？（河南省竞赛题）