数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-转化与化归

第七讲转化与化归可化为一元二次方程的方程及方程组数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为。思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。【例2】方程3418611xxxx的解的情形是（）A、无解B、恰有一个解C、恰有两个解D、有无穷多个解思路点拨：由配方法得22(12)(13)1xx，即12131xx，通过讨论去掉绝对值符号。【例3】解下列方程：（1）222234112283912xxxxxxxx（河南省竞赛题）（2）33(1999)(1998)1xx；（山东省竞赛题）（3）21313()4211xxxxxx；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）2(1)(35)1444524xxxyxxy（西安市竞赛题）思路点拨：按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从(1999)(1998)1xx受到启示；对于（3），设131xyx，则可导出xy、xy的结果；对于（4），视2xx，35xy为整体，可得到2()(35)xxxy、2()(35)xxxy的值。【例4】解下列方程（组）：（1）、2275xxxx（克罗地亚奥林匹克试题）（2）51822062511xyyxxy（2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题）非等价转化【例5】若关于x的方程2211kxkxxxxx只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解。分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值。学力训练1、方程542332xxx的解是。（威海市中考题）2、方程2()65()11xxxx的整数解是。（天津市中考题）3、用换元法解方程63521xxxx时，如果设2xxy，那么原方程可变形为（）A、220yyB、220yyC、220yyD、220yy5、关于x的方程11ax的解是负数，则a的取值范围是（）。A、1aB、1a且0aC、1aD、1a且0a（山西省中考题）6、下列方程有实数解的是（）A、211xB、120xC、111xxxD、2230xx（潍坊市中考题）7、解方程组222230xyxxyy（2011年上海市中考题）8、解下列方程：（1）2654111xxxxx（上海市中考题）（2）222(1)160xxxx（苏州市中考题）（3）2261xxxx（天津市中考题）（4）(1)(2)(3)(4)120xxxx9、（1）求方程22255232580xxxx所有实数根的积。（日本数学奥林匹克试题）（2）解方程组2()552345xyzxyzxyz（太原市竞赛题）能力拓展：10、解方程222211114325671221xxxxxxxx得。（“祖冲之杯”邀请赛试题）11、方程18272938xxxxxxxx的解是。（第16届江苏省竞赛题）12、若实数x、y满足703392xyxyxyxy，则22xyxy＝。（第20届江苏省竞赛题）13、若实数x、y、z满足方程组122232xyxyyzyzzxzx，则（）A、230xyzB、7520xyzC、9630xyzD、1070xyz14、如果方程3254(4)0xxkxk的三个根可以作为一个三角形的三边长，则实数k的值为（）A、3B、4C、5D、6（四川省竞赛题）15、关于x的方程21xax仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）。A、0aB、4aC、24aD、04a（全国初中数学联赛）16、解下列方程（组）：（1）2221(1)(24)xxxxxx（2011年青少年数学国际城市邀请赛）（2）22()31xxx（3）3223221010xxyyyxyx（德国数学奥林匹克试题）（4）229410(9)(4)24xyxyxyxy（太原市竞赛题）（5）2222414414414xyxyzyzxz（加拿大数学奥林匹克试题）17、对于实数a，只有一个实数值x满足等式211220111xxxaxxx，试求所有这样的实数a的和。（第19届江苏省竞赛题）综合创新：18、已知关于x、y的方程组2223()xypxypxyp有整数解(,)xy，求满足条件的质数p。（四川省竞赛题）19、已知a、b、c三数满足方程组288248ababcc，试求方程20bxcxa的根。（全国初中数学联赛题）