数学培优竞赛新方法(九年级)-第1讲-追问求根公式

1第一讲追问求根公式正确的看法是，数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美-----一种像雕塑那样冷峻而朴素的没，一种无须我们柔弱的天性感知的美，一种不具有绘画和音乐那样富丽堂皇的装饰的美，然而又是极其纯净的美，是唯有最伟大的艺术才具有的严格的完美。知识纵横形如02cbxax（0a）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式aacbbx2422,1内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。例题求解【例1】（1）方程01201120102xx的解为。（2011年广东中考题）（2）设b、a是整数，方程02baxx的一根是324，则ba的值是。（四川省竞赛题）思路点拨：对于（1），由0120112010知原方程必有一根为-1，即有因式1x，故可用因式分解法解；对于（2），13324，把13代入原方程，建立b、a关系式。【例2】已知0132aa，那么2219294aaa（）。A、3B、5C、53D、56（“五羊杯”邀请赛试题）思路点拨：求出a的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如2aaaa31,1322等。【例3】设方程,04122xx求满足该方程的所有根之和。（重庆市竞赛题）思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号（有时也用到绝对值性质，如222xxx），把绝对值方程转化为一般的一元方程求解【例4】如图，已知点)4,1(A是直线与双曲线的交点，△AOB的面积为215，求直线AB的解析式。（十堰市中考题）思路点拨：设直线AB解析式为,baxy则4ba，解题的关键是由S△AOB215建立关于a的一元二次方程。【例5】已知a是正整数，如果关于x的方程056)38()17(23xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根。（全国初中数学联赛）3【例6】已知三个不同的实数cba、、满足3cba，方程0x0122cbxaxx和有一个相同的实根，方程0x022bcxaxx和也有一个相同的实根．求cba、、的值．（2011年全国初中数学竞赛题）学力训练基础夯实1、若0x是方程0823)2(22mmxxm的解，则m。（荆州市中考题）2、方程01892xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为。（青岛市中考题）3、关于x的方程0)(2bmxa的解是0)abm(1,221均为常数，、、axx，则方程0)2(2bmxa的解是。（2011年兰州市中考题）4、若使分式13222xxx的值为0，则x的取值为（）。A、1或-1B、-3或1C、-3D、-3或-1（芜湖市中考题）5、若关于x的一元二次方程0235)1(22mmxxm的常数项为0，则m的值为（）4A、1B、2C、1或2D、0（山东省中考题）6、（2005•浙江）根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）A、23.33xB、24.323.3xC、25.324.3xD、26.325.3x（浙江省中考题）7、先化简，再求值：12212122xxxxxxxx，其中x满足012xx。（2011年重庆市中考题）8、已知1x、2x为方程0132xx的两实根，求代数式208231xx的值。（芜湖市中考题）9、是否存在某个实数m，使得方程02x01322mxxx和有且只有一个公共的实根？如果存在，求这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.095能力拓展10、设方程0120012003200222xx的较大根为r，方程01200220012xx的较小根为s，则sr的值为。11、已知a、b是方程042mxx的两个根，b、c是方程0582mxx的两个根，则m（山东省竞赛题）12、设方程0))((xbxax的两根为c、d，则方程0))((xdxcx的两根为。（2011年四川省竞赛题）13、已知a、b是方程02322xx的两个实数根，则baab的值为（）。A、-1B、1C、32D、32（太原市竞赛题）14、已知三个关于x的一元二次方程0,0,0222baxcxacxbxcbxax恰有一个公共实数根，则abccabbca222的值为（）A、0B、1C、2D、3（全国初中数学竞赛题）15、方程)2)(324(12xx的解的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个（2011全国初中数学联赛题）16、已知方程0132xx的两根也是方程024cbxaxx的根，求cba2的值。（全国初中数学联赛题）17、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：6（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．（青岛市中考题）18、设a是方程0412xx的根，求234531aaaaa的值（太原市竞赛题）19、若关于x的方程06821)14216()281(162234aaxaxaxx的各根为整数，求a的值并解此方程。（江西省竞赛题）20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证：ABBS为无理数。（上海市竞赛题）7