关注数学本质 发展学生思维(唐彩斌)

关注数学本质发展学生思维与小学数学骨干教师交流研讨2009版姓名：唐彩斌职称：中学高级教师职务：副院长，主任单位：杭州现代小学数学教育研究中心杭州上城区教育学院邮箱:[e-mail]网站：代表作：浙教版《新思维小学数学》；个人专著《思想改变课堂》。作者信息：ZUOZHEXINXI123宏观指导思想是正确的中观教学理念是认同的微观教学操作是困难的面对课程改革，您是否越来越觉得……B重点教学灵活思维A重点教学机械技能数学教学D思维需大量训练C思维有序训练E教师告诉怎么做F学生自主思考提纲什么是数学思维？1思维训练的内容有哪些？2如何形成序列？33怎样开展教学？34有哪些小课题值得研究？35•现场测试：大家都来试一试。•要给学生一杯水，老师要有一桶水，最好是源头活水。•时间：10分钟；做5题。什么是思维训练？基本概念：思维：是人脑对客观事物的本质属性和规律的一种概括的、间接的反映过程。间接性、概括性正是思维过程的重要特点。能力：直接影响活动效率，使活动得以顺利完成的个性特征。数学思维能力：在一定的思维品质上形成的分析问题和解决问题的能力。就是数学思维能力。它从属与思维与能力的一般范畴，但有具有一些数学学科的特殊性。学过的知识没有做过的题。——赵裕春•苏联心理学家克鲁捷茨基•数学能力由九种成分：（1）使数学材料形式化的能力；（2）概括数学材料的能力；（3）运用数学和其他符号进行运算的能力；（4）连续而有节奏的逻辑推理能力；（5）简化推理过程的能力；（6）逆转心理过程的能力；（7）思维的灵活性——从一种心理运算转向另一种心理运算的能力；（8）数学记忆能力，主要指对概括内容、形式化结构和逻辑模式的记忆力；（9）形成空间概念的能力。•北京师范大学心理学教授林崇德•第一，数学能力结构应当包括传统的三种基本数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力）以及五种数学思维品质（思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性）；•第二，关于思维能力的其他一些提法与五种思维品质的提法，意思是接近的，可以纳入思维品质去考虑；•第三，三种基本能力与五种思维品质（包括与思维品质相应的一些思维能力）的关系不是并列的关系，而是交叉的关系。•华东师范大学教授张奠宙•基本运算能力，空间想象能力，逻辑思维能力。前两条是算术和代数能力，以及几何能力，属学科范围。只有逻辑思维能力，属于思维品质层面。•五方面的扩展（1）问题解决能力。（2）数学交流能力。（3）数学联结能力。（4）数学推理能力。（5）数学表示能力。•中央教科所华国栋•第一层次：运算能力、空间想象能力、信息处理能力；•第二层次：逻辑思维能力和问题解决能力；•模式能力在这两个层次之间非常重要的桥梁作用。•中央教科所华国栋运算能力空间想象能力信息处理能力模式能力逻辑思维能力问题解决能力运算能力空间想象能力信息处理能力数与代数图形与几何统计与概率•运算能力：主要表现在使用数字和符号进行运算，对形式化结构进行变换的能力，选择适当运算方法的能力，对运算结果进行合理估计的能力等；•空间想象能力：采用适当方式描述物体间的位置关系的能力，采用适当方法确定物体位置的能力，利用直观形象描述和分析问题的能力；图形变换能力；在二维和三维图形和它们的表征之间进行转换的能力；采用适当的方法进行空间测量的能力；对空间形式及其符号进行想象、形成空间概念及空间关系的能力等。•信息处理能力主要表现在：选择适当的方法收集、整理数据的能力，对数据进行科学描述和分析的能力；准确报告数据分析结果的能力；根据数据分析结果对事物发展做出合理预测或决策的能力等；•逻辑思维能力：从具体情境中抽象概括出数量关系和变化规律的能力；演绎推理能力；通过对事物的观察、比较、分析、综合、归纳、类比等进行合情推理的能力；选择和运用不同推理方法的能力；清晰准确地表达逻辑思维过程的能力等；•问题解决能力：从数学的角度提出问题，分析问题，并综合运用所学的数学知识和方法解决问题的能力；能够根据问题情境灵活选择适当的问题解决策略的能力；对问题解决的过程进行反思和监控的能力等。•模式能力：模式的识别、模式的扩展、模式的转换、模式的比较、模式的表征、模式的描述、模式的交流等；思维训练的内容有哪些？1.运算能力•不仅仅是指计算技能，而且包括在计算活动中对数与数之间关系的思考。•形式：推断式中的未知数、空格填数、巧列算式、探索规律、数形结合中的计算、数与式排列中的计算等。•基础实的体现：“数量”“速度”。•不同版本教材题量统计表。运算能力比较落实A版B版S版浙教版20以内进位加法189174201209两位数加一位数进位加法82877993两位数减两位数退位减法55486488除数是两位数的除法7667100167•除了“量”更关注“质”。•100以内两位数加一位数进位加法共369题；•在多位数乘法计算中，涉及两位数加一位数进位加法的题共60题。（如748×7，要用到28＋5，49＋3）•训练的时间：口算训练的老传统贵在坚持。•“搞改革千万不能背山起楼，焚琴煮鹤，糟蹋原来美好的东西，更不能把许多好的民族传统的内容弄得支离破碎。”（顾汝佐）•学用结合，组块计算。•将125×8=1000，作为基本的模块：128×8=（125+3）×8＝1000＋24＝1024数学家的案例=13+123=93+103身边的案例A商场八折优惠B商场九折酬宾1729数感好不好？•找数列规律。•规律的开放性是建立在小学生学习数学的基础上的，虽然从理论上讲填任何数都符合规律，但在小学阶段研究的范围：就是在呈现的几个数之间存在同样的关系，就认定是一种规律。(3)(5)(8)()(2)(5)(8)()2*3*(32)(52)(82)(2)(23)(53)(83)(3)(2)(3)(8)()(2)(3)(5)()5*8*(25)(35)(85)(5)(28)(38)(58)(8)(2)(3)(5)(8)*(2)(xxxnxxxxnxnnxxxnxxxxnxnnxxxxnn3)(5)(8)nnn•第2题，哪一行与其他三行的规律不同。除了显而易见的一种，还需要倾听学生不同意见，是否有合理的成份。如：1，2，4，6哪个数与众不同？如将5、10、15、25、30，35这六个数分别填入下图中，使每行数的和相等，同时使每列三个数的和相等。数阵图参考答案：这六个数的和：（10+30）×3=120每行两个数的和：120÷3=40每列三个数的和：120÷2=60考虑这六个数搭配，共有12种填法数阵：连数求和数形结合推理数字谜＋观点与启示在数的领域里，在提高学生运算能力的同时，发展学生的思维，上述的这些形式值得借鉴。结合你的教学实践中，对于以上的内容，你有什么经验与大家分享，还有什么问题与大家探讨？数字黑洞案例1：奇妙的6147任意给定四个互不相同的数字，将它们组成的最大数和最小数，并用最大数减去最小数。并对所得结果的四个数字重复上述过程，你会发现什么呢？案例3：奇妙的回文数回文数：从左读从右读，结果一样的。如：121，26162，3993，487784。（1）按入一个指定的数，如：367；（2）加上这个数的翻转数，如：763；（3）再加上和的翻转数，如:1130+0311;（4）结果就是一个回文数。1441“客上天然居，居然天上客。”“斗鸡山上山鸡斗，龙隐洞中洞隐龙”。142857×1＝142857142857×2＝285714142857×3＝428571142857×4＝571428142857×5＝714285142857×6＝857142142857×7＝999999142857×8＝1142856142857×9＝1285713案例4：奇妙的142857数字宝塔1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝123432111111×11111＝123454321111111×11111＝123456542111……11×11……11＝？10个1数字宝塔案例6：9×9＝8199×99＝9801999×999＝9980019999×9999＝9998000199999×99999＝999980001999999×999999＝99999800001如果9个9乘9个9结果是多少呢？案例7：9×？＋7＝889×？＋6＝8889×？＋5＝88889×？＋4＝888889×？＋3＝8888889×？＋2＝88888889×？＋1＝888888889989879876987659876549876543观点与启示计算器是学习的工具，可是学生能自由地应用吗？它除了进行繁难的计算，更重要的是发现计算中的规律。请你想好一个数记在心里，现在将它加上5，然后乘以2，再减去4，再除以2，再减去你想的数，结果得到的数是什么？【代数范畴】符号感的应用。最后的结果都是3。把你想好的数用n表示。n+5（n+5）×2＝2n+102n+10－4＝2n+6（2n+6）÷2＝n+3n+3－n＝3想好一个数加上5乘以2减去4除以2减去你想的数得到的数是什么链接：读心术2.空间想象能力（1）图形之间的转换；（2）比较面积和距离：（3）图形的分解和组合：（4）数立方体个数；（5）图形概括，（6）图形推理；（7）在复杂的图形中找出隐蔽的图形：（8）图形的组合判断；（9）图形的展开和折叠；（10）图形的辨认：用长方形折出正方形，用正方形剪出一样大的三角形等。图形之间的转换七巧板拼平行四边形七巧板拼正方形用七巧板拼寓言《自相矛盾》观点与启示具有中国特色的素材应该更多出现在中国数学教育的课堂上。结合你的教学实践中，对于以上的内容，你有什么经验与大家分享，还有什么问题与大家探讨？推导面积公式。图形之间的转换S＝c×r÷2S＝（a＋b）h÷2S＝ah÷2S＝ahS＝ab圆形梯形三角形平行四边形长方形面积公式之间的关系•四连方；•五连方；•六连方。•分别有几个呢？图形的分解与组合图形的组合：红色与绿色的面积哪个大？•下图中，长方形的长和宽分别为40厘米和25厘米，一个直径为4厘米的圆沿长方形内壁无滑动地滚动一周，求圆滚过的部分的面积。车轮是圆的吗？图形推理。•引导提问。•它是怎么组成的？•有多少条线？•怎么研究？•图形的组合与推理：•图形的辨认：•图形的辨认：•比较面积和距离：•图形的展开与折叠对折一次对折两次数形结合数形结合。数一数某块积木有几个尖（顶点）、几个棱、几个面，就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。相应观点:•学“1”的时候，说说“1个圆有1个圆心”；•学“2”的时候，说说“一条线段有两个端点。”•学“3”的时候，说说“三角形有3条边、3个顶点”；•学“4”的时候，说说“正方形有4条边、4个顶点”；•学“5”的时候，可以画个五角星；•……•学“90”的时候，说说正方形的角是90度•先记一记，再慢慢理解，可否？从小我们就会叫“妈妈”，可她的含义你理解了吗？即使是现在……•（1）20以内进位加法：如在九宫格中找出四方连图形，并用4个数算出24。【案例】数形结合乘法分配律的学习。【案例】数形结合2278个人相互之间握一次手。【案例】数形结合数形结合归一问题思考：公式也能变式S＝（1/2h）aS＝（1/2a）hS＝1/2（ah）20棵树，栽成若干行，每行要求栽4棵，可以栽多少行？怎样栽？数形结合诗数形本是相依偎，焉能纷作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.几何代数统一体，永远联系莫分离.华罗庚华罗庚结合你的教学实践中，对于以上的内容，你有什么经验与大家分享，还有什么问题与大家探讨？观点与启示