换元积分法

一、第一换元法(或称凑微分法)第四节换元积分法二、第二换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.引例xxd3cosxxd3cos331,)d(33cos31xx(因为d(3x)=3dx)..dcos31d3cosuuxx一、第一换元法(或称凑微分法）令u=3x，则上式变为Cxxxsindcos把,dcos上用到uu那么，uuxxdcos31d3cosCusin31.3sin31Cx也就是说上述结果正确..3cos3sin31的一个原函数是容易验证xx一般地，能否把公式，)的可微函数是(用到xuCuFuufCxFxxf)(d)()(d)(定理1回答这个问题.第一换元法,)()(CuFuufd设且u=j(x)为可微函数，xxxfd)())((jj.))((CxFj①证已知F(u)=f(u)，u=j(x)，则))((xFj)()(xufjxuuF),())((xxfjj所以xxxfd)())((jj.))((CxFj则第一换元法可以分为以下三个步骤：（1）凑微分：将被积表达式d)(xxg凑成的形式，d)()(xxxfjj)(dd)(xxxjj)(d)(d)()(d)(xxfxxxfxxgjjjj（2）代换：令ux)(jd)(uuf（3）还原：用)(xuj.))(()(d)(CxFCuFuufj于是：求不定积分还原，即用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法．则，若)(d)(CxFxxf,)(d)(CuFuuf①①式就是把已知的积分CxFxxf)(d)(中的x所以说把基本积分表中的积分变量换成可微函数j(x)后仍成立.其中u=j(x)可微.换成了可微函数j(x).例1求.d)23sin(xx解对照基本积分表，，相似上式与表中dsinxx如果把dx写成了d(3x+2)，那么就可用定理1及,cosdsinCxxx为此将dx写成),23(d31dxx代入式中，那么xxd)23sin(.)2d(3)23sin(31xx令3x+2=u则uudsin31Cucos31.)23cos(31Cx),(d1d.1baxax利用a,b均为常数，且a0.例2求.d)54(99xx解上式与基本积分表中Cxxx111d相似，为此将dx写成那么xxd)54(99,)5d(4)54(4199xx,)54(d41d代入式中xx令4x+5=u，uud4199则，原式Cu1004001.)54(4001100Cx例3求.1dxx解上式与基本积分表中.||lnd1类似Cxxx为此将dx=d(x+1)代入式中，那么1dxx1)1d(xx.|1|lnCx例4求22dxax(a0常数).解上式与基本积分表.arcsin1d2类似Cxxx22dxax21daxax21daxax.arcsinCax.arcsind22Caxxax例5求22dxax(a0常数).解22dxax221d1axxa21d1axaxa.arctan1Caxa.arctan1d22Caxaxax),(d21d.22axxx利用),d(31d32axxx,dlnd1xxx,1dd12xxx,d2d1xxx,cosddsinxxx,sinddcosxxx,tanddsec2xxx,cotddcsc2xxx,arcsindd112xxxxxxarctandd112等等.例6求.de2xxx解将被积分式中的xdx因子凑微分，.212xxxdd则2de21de22xxxxxCx2e21经求导验算，.ee2122xxxC结果正确.即即例7求.dlnxxx解因子将被积分式中的d1xx).lnd(d1xxx凑微分，即则xxxdlnxxlndln.ln212Cx.)ln(d)(d)(ln:xuuufxxxf一般公式例8求.dcossin2xxx解x2sinx2sin.sin313Cx解x1sinx1sin.1cosCx例9求.d1sin12xxx21xxdx1dxxdcosxsind例10求.2xxxdee解.)2ln(Cxe2xexexd2xe)2xd(e3.利用三角函数的恒等式.例12求.dtanxx解xxdtan.|cos|lnCxxcosxsinxdxcosxcosd例13求.dsin2xx解xxdsin2xxd22cos1xxxd2cosd21xxx2d2cos2121.2sin4121Cxx例14求.dsin3xx解xxdsin3xxxdsinsin2xxcosdsin2xxcosd)cos1(2.coscos313Cxx例15求.d2cos5sinxxx解xxxd2cos5sinxxxd)3sin7(sin21xxxx3d3sin31217d7sin7121.3cos617cos141Cxx例16求.d1xxx解xxxd1xxxd111xxd111.|1|lnCxx4.利用代数恒等式例17求22dxax(a0常数).解22dxax))((dxaxaxxxaxaxaxaad))(()()(21xaxxaxadd21.ln21CxaxaaCxaxaaxaxln21d22xaxaxaxaa)(d)(d21例18求.45d2xxx45d2xxx解)1)(4(dxxxxxxxxd)1)(4()4()1(311d4d31xxxx.14ln31Cxx例19求.54d2xxx解54d2xxx2)2(1dxx2)2(1)2(dxx.)2arctan(Cx例20求.d5412xxxxxxxxxd541)54(21221)2(dd54)54(21222xxxxxxx解xxxxd5412.)2arctan()54ln(212CxxxCxfxfxfxxfxf|)(|ln)()(dd)()(例21求.dsecxx解xxdsecxxdcos1xxxdcoscos2xx2sin1sindCxxsin1sin1ln21Cxxxx|tansec|lndsec.|tansec|lnCxx例22求.d1arctan2xxxx解xxxxd1arctan2dxxxxxx221arctand1xxdxarctanarctan)xd(1112122Cxx22)(arctan21)1ln(21二、第二换元法引例xxxd1为了将被积函数中的根式1x去掉，应将其作为一个整体，因此令1xt因此，tdtdxtx2,12将其代入原积分式中，tdtttxxx2112dCttdtt232)1(232Cttdtt232)1(232Cxx12)1(323d)(d)())((是被积表达式第一换元法：uufxxxfjj常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子)(xj。，而不能分出因子式的积分：)(d)(xxxfj将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)())((jjxxfd)()(txj令CtF)(容易积出：CxF))((1j1.简单根式代换例22求.d1xxx解为了去掉被积函数中的根号，,1tx令则dx=2tdt，于是有tttd1222xxxd1tttd11)1(222ttd11122.)arctan(2Ctt,12tx回代变量，,1xt得xxxd1.)arctan(2Ctt.)1arctan1(2Cxx例23求.d14xxx解被积函数含根式,,4xx为了去掉根号，,,44txtx令于是有xxxd14ttttd423tttd142tttd1114.|1|ln2142Cttt则dx=4t3dt，tttd11)1(42回代变量，,4xt得4dxxxCttt|1|ln2142.)1ln(44244Cxxx例24求.d11xxxx解为了去掉被积函数中的根号，,11,12txtxx令,d)1(2d22tttx则于是有xxxxd11tttd1222tttd11)1(222ttd11122tttd11222Cttt11ln2.1111ln12Cxxxxxx2.三角代换例25求.)0(d22axxa　　,cossin1222tataxa于是有xxad22ttadcos22ttad)2cos1(22Ctta2sin2122.cossin22Cttta解,22sinttax　　令≤≤则dx=acostdt，把变量t换为x.为简便起见，,sinaxt根据画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.,arcsinaxt因为,cos22axat于是有xxad22Cttta)cossin(22Caxaaxaxa222arcsin2.2arcsin2222Cxaxaxaxa22xat例26求).0(d22aaxx解，，　令22tanttax则dx=asec2tdt，于是有22daxxttatadsecsec2ttdsec.|tansec|ln1Ctt，根据axttan作辅助三角形，得axt22ax122|tansec|lndCttaxx122lnCaaxaxaCaxxln)ln(122，Caxx)ln(22其中C=C1-lna.例27求).0(d22aaxx解令x=asect，则dx=asecttantdt，于是有22daxxttattadtantansecttdsec,|tansec|ln1Ctt,secaxt根据作辅助三角形，22daxxaxt22ax1|tansec|lnCtt122lnCaaxaxaCaxxln||ln122，Caxx||ln22得其中C=C1–lna.,)1(22时含xa作三角代换x=asint或x=acost；,)2(22时含xa作三角代换x=atant或x=acott；,)3(22时含ax作三角代换x=asect或x=acsct.例28求.1d2xxx解法一三角代换法.令x=tant，于是得21dxxxtttt