带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有：磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。2.磁场方向不确定受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。1.带电粒子电性不确定3.临界状态不惟一带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。4.运动的重复性带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。1.带电粒子电性不确定形成多解例1.如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=600，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。600v0xyOv0xyO分析：若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为O1,粒子向x轴偏转,并从A点离开磁场。θ1vARRO1A若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场vBRRO2Bθ2θ1不论粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为BqmvR0如右图示,有BOAOROOOO2121带电粒子沿半径为R的圆周运动一周所用的时间为BqmvRT220解：（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ1=1200。A点与O点相距：BqmvRx033若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ2=600，B点与O点相距：BqmvRy0（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为BqmTt3236011若粒子带正电，它从O到B所用的时间为BqmTt336022题目题目2.磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。例2.一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）mqB4mqB3mqB2mqBA.B.C.D.分析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可知RvmBqv24得mBqRv4此种情况下,负电荷运动的角速度为mBqRv4当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，RvmBqv22得mBqRv2此种情况下,负电荷运动的角速度为mBqRv2应选A、C。FffF3.临界状态不惟一形成多解例3.如图甲所示，A、B为一对平行板，板长为l，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子以初速v0，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求v0在什么范围内，粒子能从磁场内射出？带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。mv0ABdl+q甲分析：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。mBdqv40即qBmvr0mrBqv0由于，所以，当粒子从左边射出时,若运动轨迹半径最大,则其圆心为图中O1点,半径r1=d/4。要想使粒子能射出磁场区，半径r必须小于d/4（粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）。因此粒子从左边射出必须满足r≤r1。v0d/2O1乙lr1当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O2点，半径为r2。由几何关系可得dldrldrr222222242，）（dmqB)ld(v44220即因此粒子从右边射出必须满足的条件是r≥r2r2-d/2r2v0d/2O2乙lmBdqv40dmqB)ld(v44220所以当粒子可以从磁场内射出。或时，题目题目长为l的水平极板间有如图所示的匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为l。现有一质量为m、带电量为+q的粒子从左边板间中点处沿垂直于磁场的方向以速度v0射入磁场，不计重力。要想使粒子不打在极板上，则粒子进入磁场时的速度v0应为多少？若刚好从a点射出，如图：llvabcd例1.lqBmvr411mqBlv41解：R-l/2Rllvabcd若刚好从b点射出，如图：要想使粒子不打在极板上，vv1或vv22222)lR(lRqBmvlR245mqBlv452mqBlvmqBlv44500或即例2如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（b，0）点，可在y轴右侧加一垂直于xOy平面向里、宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行,上、下足够宽（图中未画出）.已知，L＜b。试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离．（结果可用反三角函数表示）xy0Qv0PeBmvaeBmv002解：设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r,则rvmeBv200①解得②eBmvr0⑴当rL时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，θθxy0Qv0P图1由几何关系有③0mveBLrLsin则磁场左边界距坐标原点的距离为cot)]cos(ra[Lbx11④cot)]cos(eBmva[Lbx101（其中）⑤0mveBLarcsin②当rL时，磁场区域及电子运动轨迹如图2所示，xy0Qv0P图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为222)ar(rbx解得⑦2022aeBamvbx题目题目一带正电的滑环，带电量为q，质量为m，套在粗糙的足够长的绝缘杆上，杆呈水平状态固定不动，整个装置处在磁感应强度为B，方向如图示的匀强磁场中，现给滑环以水平向右的瞬时冲量I，使其沿杆运动起来。若环与杆之间的动摩擦因数为μ，则滑环在运动过程中克服摩擦力做的功（）A.可能为I2/2mB.可能大于I2/2mC.可能为0D.可能处在0和I2/2m之间例3ACD解：若qv0B＝mg则f=0mgqv0B滑环以v0作匀速运动，Wf=0若qv0Bmg则f=μ(mg-qv0B)mgqv0Bf滑环作减速运动，一直减速到0，Wf=1/2mv02-0＝I2/2m若qv0Bmg则f=μ(qv0B-mg)滑环作减速运动，mgqv0Bf当减速到v1时，若qv1B＝mgf1=0则以v1作匀速运动mgqv1BWf=1/2mv02-1/2mv12I2/2m所以选项ACD正确。4.运动的重复性形成多解例6.如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下。在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x轴上有一点P，离原点的距离为a。现有一带电量+q的粒子，质量为m，从静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。OyxP分析：要使粒子能经过P点，其初始位置必须在匀强电场区域里。由于没有明确粒子所在位置，讨论如下：（1）若粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下沿y轴从原点O进入磁场做半径为R的匀速圆周运动。由于粒子可能偏转一个、二个……半圆到达P点，)n(nRa…，2122121mvqEyRvmBqv2)n(mEnqaBy…，2182221由①、②、③式有②③故①设释放处距O的距离为y1，则有OyxP（2）若粒子在电场中的起点坐标为（x、y2），依题意，有)n(nRxa…，212)n(mEn)xa(qBy…，2182222同理可得:当xa，则当x=a，不论取值如何，粒子均能经过P点；当xa，粒子不可能经过P点；OyxP题目例4如图示,在真空室内取坐标系Oxy,在x轴上方存在匀强电场,场强方向沿负y方向,x轴下方存在两个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场区Ⅰ和Ⅱ,平行于x轴的虚线ab是它们的分界线,虚线上方(包括虚线处)的磁场区Ⅰ的磁感应强度B1＝0.20T,虚线下方的磁场区Ⅱ的磁感应强度B2＝0.10T,虚线与x轴相距d=4.0cm.在第一象限内有一点P,其位置坐标x=16.0cm、y=10.0cm.一带正电的粒子处于P点从静止释放,粒子的电荷量与质量之比q/m=5.0×107C/kg.为使粒子能通过坐标原点O,匀强电场的场强E必须满足什么条件?不计粒子的重力作用．OyxdP(x,y)EⅡⅠab解:粒子从P点开始运动,进入磁场区Ⅰ时的速度为v，由动能定理得qEy=1/2mv2①用R1、R2分别表示粒子在磁场区Ⅰ和区Ⅱ中运动的轨道半径，有②121RvmqvB③222RvmqvB（1）若粒子没能进入磁场区Ⅱ而最后能通过坐标原点O，则粒子每次进入磁场区Ⅰ中运动都是转动半周后后就离开磁场进入电场，重复运动直到通过坐标原点O，粒子的一种运动轨迹如图所示，有OyxdP(x,y)EⅡⅠabn∙2R1=x④R1≤d⑤解得R1=8.0/n(cm)(n=2,3,4…)⑥⑦432V/m104624),,n(n.E题目OyxdP(x,y)EⅡⅠab（2）若粒子能进入磁场区Ⅱ且最后能通过坐标原点O，则粒子的运动轨迹如图中所示，A1和A2分别为粒子在磁场区Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的圆心DA1A2CFθθ在ΔA1CD中，有cosθ=DC/A1C=d/R1⑧在ΔA1A2F中，有⑨1212112RRRxAAFAsin解得,cosθ=0.6R1=5.0cm⑩E=2.5×104V/m当匀强电场的场强E=2.5×104V/m或(n=2,3,4…)时，粒子能通过坐标原点O．V/m104624n.E题目第2页例5)平行金属板M、N间距离为d。其上有一内壁光滑的半径为R的绝缘圆筒与N板相切，切点处有一小孔S。圆筒内有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为B。电子与孔S及圆心O在同一直线上。M板内侧中点处有一质量为m，电荷量为e的静止电子，经过M、N间电压为U的电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出发点。（不考虑重力，设碰撞过程中无动能损失）求：⑴电子到达小孔S时的速度大小；⑵电子第一次到达S所需要的时间；⑶电子第一次返回出发点所需的时间。MNmeORS解：⑴设加速后获得的速度为v，根据221mveU得meUv2⑵设电子从M到N所需时间为t1则21212121tmLeUatd得eUmdt21⑶电子在磁场做圆周运动的周期为eBmT20电子在圆筒内经过n次碰撞回到S，每段圆弧对应的圆心角MNSmeOθ1R12-1nn次碰撞对应的总圆心角）（）（）（12111nnn在磁场内运动的时间为t2eBmneBmnTt)1(22)1(202eBmneUmdttt)1(22221（n=1，2，3，……）题目例617．（11分）一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0，方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。（1）若粒子带负