高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3.1导数与函数的单调性极值最值课件

2.3导数在函数中的应用一、导数与函数的单调性、极值、最值-3-热点1热点2热点3利用导数讨论函数的单调性【思考】函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=1𝑥−ee𝑥,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x1时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.-4-(1)解f'(x)=2ax-1𝑥=2𝑎𝑥2-1𝑥(x0).当a≤0时,f'(x)0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.当a0时,由f'(x)=0有x=12𝑎.当x∈0,12𝑎时,f'(x)0,f(x)单调递减;当x∈12𝑎,+∞时,f'(x)0,f(x)单调递增.(2)证明令s(x)=ex-1-x,则s'(x)=ex-1-1.当x1时,s'(x)0,所以ex-1x,从而g(x)=1𝑥−1e𝑥-10.-5-(3)解由(2),知当x1时,g(x)0.当a≤0,x1时,f(x)=a(x2-1)-lnx0.故当f(x)g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a0.当0a12时,12𝑎1.由(1)有f12𝑎f(1)=0,而g12𝑎0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a≥12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x1时,h'(x)=2ax-1𝑥+1𝑥2-e1-xx-1𝑥+1𝑥2−1𝑥=𝑥3-2𝑥+1𝑥2𝑥2-2𝑥+1𝑥20.因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a∈12,+∞.-6-热点1热点2热点3题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)0或f'(x)0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.-7-热点1热点2热点3对点训练1函数y=12x2-lnx的单调递减区间为()A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)答案：B解析：∵y=12x2-lnx,∴y'=x-1𝑥.由y'≤0,解得-1≤x≤1,且x≠0.又x0,∴0x≤1.故选B.-8-热点1热点2热点3利用导数求函数的极值或最值【思考】函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?例2(2017山东,文20)已知函数f(x)=13x3-12ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.-9-解(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g'(x)=f'(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx).令h(x)=x-sinx,则h'(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.①当a0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,a)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增.-10-所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-16a3-sina,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sinx),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,0)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a0,g'(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;-11-当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-16a3-sina.综上所述:当a0时,函数g(x)在区间(-∞,a)和(0,+∞)内单调递增,在区间(a,0)内单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-16a3-sina,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,无极值;当a0时,函数g(x)在区间(-∞,0)和(a,+∞)内单调递增,在区间(0,a)内单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-16a3-sina.-12-热点1热点2热点3题后反思1.对于函数y=f(x),若在点x=a处有f'(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则当x=a时f(x)有极小值f(a);若在点x=b处有f'(b)=0,且在点x=b附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则当x=b时f(x)有极大值f(b).2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.-13-热点1热点2热点3对点训练2(2017北京,文20)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.-14-解(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x∈0,π2时,h'(x)0,所以h(x)在区间0,π2上单调递减.所以对任意x∈0,π2有h(x)h(0)=0,即f'(x)0.所以函数f(x)在区间0,π2上单调递减.因此f(x)在区间0,π2上的最大值为f(0)=1,最小值为fπ2=-π2.-15-热点1热点2热点3利用导数求与函数零点有关的参数范围【思考】如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?例3设函数f(x)=𝑥22-klnx,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.-16-(1)解由f(x)=𝑥22-klnx(k0)得f'(x)=x-𝑘𝑥=𝑥2-𝑘𝑥.由f'(x)=0解得x=𝑘.f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)内的情况如下:x(0,k)k(k,+∞)f'(x)-0+f(x)↘k(1-𝑙𝑛k)2↗所以,f(x)的单调递减区间是(0,𝑘),单调递增区间是(𝑘,+∞);f(x)在x=𝑘处取得极小值f(𝑘)=𝑘(1-ln𝑘)2,没有极大值.-17-(2)证明由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)内的最小值为f(𝑘)=𝑘(1-ln𝑘)2.因为f(x)存在零点,所以𝑘(1-ln𝑘)2≤0,从而k≥e.当k=e时,f(x)在区间(1,e)内单调递减,且f(e)=0,所以x=e是f(x)在区间(1,e]上的唯一零点.当ke时,f(x)在区间(0,e)内单调递减,且f(1)=120,f(e)=e-𝑘20,所以f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.-18-热点1热点2热点3题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题(或者转化为两个熟悉函数的交点问题),进而确定参数的取值范围.-19-热点1热点2热点3对点训练3设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=𝑎24+1时,求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.-20-解(1)当b=𝑎24+1时,f(x)=𝑥+𝑎22+1,故对称轴为直线x=-𝑎2.当a≤-2时,g(a)=f(1)=𝑎24+a+2.当-2a≤2时,g(a)=f-𝑎2=1.当a2时,g(a)=f(-1)=𝑎24-a+2.综上,g(a)=𝑎24+𝑎+2,𝑎≤-2,1,-2𝑎≤2,𝑎24-𝑎+2,𝑎2.-21-(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则𝑠+𝑡=-𝑎,𝑠𝑡=𝑏.由于0≤b-2a≤1,因此-2𝑡𝑡+2≤s≤1-2𝑡𝑡+2(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,-2𝑡2𝑡+2≤st≤𝑡-2𝑡2𝑡+2,由于-23≤-2𝑡2𝑡+2≤0和-13≤𝑡-2𝑡2𝑡+2≤9-45,所以-23≤b≤9-45.当-1≤t0时,𝑡-2𝑡2𝑡+2≤st≤-2𝑡2𝑡+2,由于-2≤-2𝑡2𝑡+20和-3≤𝑡-2𝑡2𝑡+20,所以-3≤b0.故b的取值范围是[-3,9-45].-22-1.求函数f(x)的单调递增区间,可转化为求不等式f'(x)0的解集;若f(x)在M上单调递增,则f'(x)≥0在M上恒成立.2.f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A不同,当f(x)在区间A上单调递减时,A可能是f(x)的单调递减区间的一个真子集.若f(x)的单调递减区间为[m,n],则在x=m(x=n)两侧导数值异号,f'(m)=0(f'(n)=0).3.求可导函数极值的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f'(x);(3)求f'(x)=0在定义域内的根;(4)判定根两侧导数的符号;(5)下结论.要注意函数的极值点对应的导数为0,但导数为0的点不一定是函数的极值点,必须导数为0的点的左右附近对应的导数异号.-23-4.求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).5.对于研究方程根的个数的相关问题,利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决.这类问题求解的通法是:(1)构造函数,并求其定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)画出函数草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.-24-1.已知x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(0,π))的零点,且x1x2,则①x0∈(1,e);②x0∈(e,π);③f(x1)-f(x2)0;④f(x1)-f(x2)0,其中正确的为()A.①③B.①④C.②③D.②④-25-答案：B解析：因为f(1)=2sin1-πln1=2sin10,f(e)=2sine-π0,所以x0∈(1,e),即①正确.f'(x)=2cosx-π𝑥,当x∈0,π2时,π𝑥2,f'(x)0;当x=π2时,f'(x)=-20;当x∈π2,π时,1π𝑥2,cosx0,f'(x)