极化恒等式在向量问题中的应用

数学教案第1页共6页极化恒等式在向量问题中的应用学习目标1.掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；2.掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；3.分析题目形式，理解使用极化恒等式的缘由.典型考题（2014年高考全国II卷文（理）科第4（3）题）设向量a，b满足10ab，6ab，则ab等于（）A.1B.2C.3D.5背景展现普通高中课程标准实验教科书《数学·必修4·A版》（人民教育出版社，2007年2月第2版）第108页习题2.4中的A组第3题：已知2a，5b，ab=-3，求ab，ab.数学教案第2页共6页DABCEF【课堂练习·高考再现】一、求数量积的值1.（2016年高考江苏卷第13题）如图1，在ABC中，D是BC的中点，,EF是AD的两个三等分点，BACA=4，BFCF=-1，则BECE=.2.（2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC=.3.（2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则ABAD=.4.（2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA=2，PC=21，则PBPD=.二、界定数量积的取值范围5.（2015年郑州市高三第一次质量检测理科第11题）在RtABC中，3CACB,MN，是斜边AB上的两个动点，且2MN,则CMCN的取值范围为（）A.52,2B.2,4C.3,6D.4,6数学教案第3页共6页ABCMN三、探求数量积的最值6.（2017年高考全国II卷理科第12题）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则PAPBPC的最小值是（）A.-2B.32C.43D.-17.（2016年高考浙江卷理科第9题）已知向量a，b，a=1，，b=2，若对任意单位向量e，均有6aebe，则ab的最大值是.四、处理长度问题8.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0acbc，则c的最大值是（）A.1B.2C.2D.229.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，12ABAB，121OBOB,12APABAB,若12OP,则OA的取值范围是（）A.502，B.5722，C.522，D.722，10.（2017年高考浙江卷第15题）已知向量a，b满足：a=1，，b=2，则abab的最小值是，最大值是.11.（1999年上海市理科实验班招生试题第6题）如图2，在RtABC中，90BAC，MN，是BC上的点，BMMNNC,如果4AM,3AN,则MN=.12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD中，AD=1，=60BAD，E为CD的中点.若=1ACBE,则AB=.数学教案第4页共6页五、解决综合性问题13.（2012年高考江西卷理科第7题）在RtABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222PAPBPC等于（）A.2B.4C.5D.1014.（2013年高考浙江卷理科第7题）已知在ABC中，0P是AB上一定点，满足014PBAB,且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC,则（）A.=90ABCB.90BACC.=ABACD.=ACBC15.（2014年高考浙江卷理科第8题）记,max{,},xxyxyyxy，,min{,},yxyxyxxy，设a，b为平面向量，则（）A.min,min,abababB.min,min,abababC.2222max,abababD.2222max,ababab16.（浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图3，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC=5，点,EF分别为AD，BC的中点.如果对于常数，在等腰梯形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得=PEPF成立，那么的取值范围是（）A.59420，-B.911204，C.91204，-D.51144，CDABEFP数学教案第5页共6页【反馈训练·课后模拟】1.（2015年全国高中数学联赛安徽赛区预赛第3题）设平面向量，满足1，，3，则的取值范围是.2.（2012年高考安徽卷理科第14题）若平面向量a，b满足：23ab，则ab的最小值是.3.（2004年高考全国II卷文科第9题）已知向量a，b满足：a=1，，b=2，ab=2，则ab等于（）A.1B.2C.5D.64.（2014年高考高考江苏卷第12题）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，3CPPD,APBP=2，则ABAD的值是.DACBP5.（2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成平面角大小为60的二面角，则边BC的中点与点A的距离为.6.（2011年“北约”自主招生试题第1题）已知平行四边形ABCD的两边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长度.7.（2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB与抛物线2yx交于点A，B，点M为AB的中点，C为抛物线上的一个动点，若点0C满足00minCACBCACB，则下列一定成立的是（其中l是抛物线过点0C的切线）（）A.0CMABB.0CMlC.00CMCBD.01=2CMAB数学教案第6页共6页8.（2005年高考湖北卷理科第18题）在ABC中，已知46=3AB，6cos=6B，AC边上的中线5BD，求sinA的值.9.（2011年高考山东卷理科第22题）已知直线l与椭圆C：22132xy交于11,Pxy，22,Qxy两个不同点，且POQ的面积62S,其中O为坐标原点.（I）求证：2212xx和2212yy均为定值；（II）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值.