第六章-混料(配方)设计

1第六章混料(配方)设计§6.1混料设计的概念§6.2单形格子设计§6.3单形重心设计§6.4有约束的混料设计2§6.1混料设计的概念6.1.1混料设计（MixtureDesign）混料是指若干种不同成分的物质混合或合成一种稳定的物质或产品。在化工、医药、材料、食品、冶金、陶瓷等领域中，如不锈钢由铁、铬、镍、碳等元素组成；礼花的闪光剂由镁、钠、锶和固定剂组成；混凝土由水泥、石子、沙子和水组成；其它如中药、饲料等。这些产品的每种成分的多少是用相对量表示的，这种相对量就是所用成分在总量中所占比例。然而在这种试验中各成分的比例不能自由变动，它们受到一个约束：所有成分比例的和为1。3定义：设在一个试验中有p个成分，用表示，若试验中每一因子的取值满足如下条件：那么称这一试验为混料试验。pxxx,,,2112,,101,1,2,,pixxxxip使性能达到最好的每种成分的比例通常需要通过试验来确定。对这样的混料试验进行的设计称为混料设计，又称配方设计。混料试验设计中的成分又被称为因子，通常混料试验中的成分不少于三种。一般混料中微量成分含量的确定，通常采用普通的因子设计，不用混料设计。因为它们的成分比例很小，它们的变化几乎不会引起大比例成分的显著变化。46.1.2单形、单形的顶点与坐标混料设计中的一些基本概念。（1）单形与单形的顶点方程的图形是一个p维平面，而()为p维平面上点的坐标。在该p维平面上满足的区域构成的图形称为单形。单形是一种正多边形(正多面体)，如：正三角形、正四面体等，其高度为1。若单形上点的p个坐标中有一个为1，其它都为0，则称这种点为单形的顶点，即p维单形的顶点的坐标为：11piixpxxx,,,21)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(5p=4时的单形是三维空间中的一个的正四面体（见图6.1.1b）。p=3时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形，其三个顶点的坐标分别为（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)，从而该等边三角形就是三维空间上的一个单形（见图6.1.1a）。6.1.16这种坐标系就是p=3时单形上的坐标系，便是单形上点在这个坐标系下的坐标。（2）单形上点的坐标我们可以在单形上建立坐标系。在p=3时，单形是平面上的一个正三角形，设其高为1，记其三个顶点分别为X1、X2、X3，它们的坐标分别是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。又设P是该三角形的一个内点，定义P到边X2X3的距离为x1，到边X1X3的距离为x2，到边X1X2的距离为x3，此时三个距离之和恰为该正三角形的高，即存在。1321xxx123(,,)Pxxx7在p因子的混料试验中，若设超正面体的高为1，其p个顶点记为：A1=(1,0,0,……,0)A2=(0,1,0,……,0)……Ap=(0,0,0,……,1)其中若干个点就可以构成p维空间中的一个超平面。记单形上任一内点P的坐标为，那么这里x1是P点到A2A3…Ap的距离，x2是P点到A1A3…Ap的距离，……，xp是P点到A1A2…Ap-1的距离。12(,,,)pxxx86.1.3混料试验的统计模型设试验中考察的指标为y，那么y与p个因子的关系可以表示为：这里，是随机误差，通常假定它服从。称为响应函数，其图形也称为响应曲面，当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方程，也称响应曲面方程。由于形式往往是未知的，通常用的一个d次多项式表示，此时一个混料试验由因子数p与响应多项式的次数d来确定，以后用M{p,d}表示一个混料试验。),,,(21pxxxfypxxx,,,21),0(2N12ˆ(,,,)pyfxxx),,,(21pxxxfpxxx,,,219利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化，此时给出的多项式模型称为Scheffe正则多项式模型。对p因子一次混料试验M{p,1}，Scheffe利用把p元一次多项式模型化为Scheffe一次正则多项式模型：同理，p因子二次混料试验M{p,2}的Scheffe二次正则多项式模型为：同理，p因子三次混料试验M{p,3}的Scheffe三次正则多项式模型为：一般的混料试验多用一次、二次多项式模型，对于混料二次多项式模型而言，其待估参数的个数要比一般p元二次多项式模型少p+1个。001piix1122ˆppyxxx1ˆpiiijijiijyxxx1ˆpiiijijijkijkiijijkyxxxxxx10§6.2单形格子设计（SimplexLatticeDesign）6.2.1试验设计方法单形格子设计是Scheffe提出的一种混料设计，它奠定了混料设计的基础。M{p,d}的单形格子设计，为d阶格子设计，它将单形的边划分成d等份，在等分点做与其它边平行的直线，形成许多格子，故名单形格子设计。如：p=3，一阶、二阶和三阶单形格子设计的点分布图。M{3,1}M{3,2}M{3,3}11（1）M{p,1}的设计在M{p,1}中仅含p个未知参数，这时的单形格子设计是由p个单形顶点组成的设计。其设计方案如下：12（2）M{p,2}的设计在M{p,2}中含p(p+1)/2个未知参数，这时的单形格子设计由两类点组成：一类点是p个单形顶点，另一类点是两个坐标为1/2，其它坐标为0的点，这类点共有p(p-1)/2个，其设计方案如下：13（3）一般来讲，单形格子设计M{p,d}共有个试验点，有如下几个特点：1）每个M{p,d}设计的试验次数恰好等于响应函数中未知参数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子。2）试验点的分量与模型的次数d有关，每一成分xi的取值为1/d的倍数，即只能取0，1/d，2/d，…，(d-1)/d，1，并且在设计中因子成分量的各种配合都要用到。3）方程中的二次项xixj，不能理解为xi与xj的交互作用，因为它们受到约束条件的限制。注意：这里各xi可以看成是类似于回归设计中一种编码值。1dpdC11piix146.2.2数据分析用最小二乘的方法求出参数的估计，由于现在仍是饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，使残差平方和和自由度为不为0时，可以进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。例6.2.1M{3,2}单形格子设计的参数估计15试验中单一成分的试验点安排两次重复，有两种成分的试验点安排三次重复，试验结果见下表。试验点成分比例试验指标x1x2x3Y110011.012.420108.810.0300116.816.040.50.5015.014.816.150.500.517.716.416.6600.50.510.09.711.816ModelSourceDFParameterMSFPrFX1111.7273.78375.61280.0001X219.4176.72242.45120.0001X3116.4537.927380.0001X1*X2119.038.6785753.065110.0001X1*X3111.413.9242919.103440.0018X2*X31-9.69.87428613.547040.0051Model62878.27479.71658.140.0001Error96.560.728889Total14134.85617Y=11.7*X1+9.4*X2+16.4*X3+19*X1*X2+11.4*X1*X3-9.6*X2*X3ModelforYModelRMSE0.85375R-square95.14%AdjustedR-square92.43%CoefficientofVariation6.305391Y的极值SAS软件没有给出Y的极值，需要采用软件SAS或Lingo求极值。极值分为极大值和极小值。18PROCNLPtech=trureg;MAXy;y=11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;PARMSx1-x3=0.5;BOUNDS0=x1-x3=1;LINCONx1+x2+x3=1;RUN;SAS/OR求解程序FactorMaxMinX10.29390.00X20.000.8646X30.70610.1354Y17.38449.2240运算结果：19Lingo求解程序FactorMaxMinX10.29390.00X20.000.8646X30.70610.1354Y17.38449.2240Max=11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;x1+x2+x3=1;x1=1;x2=1;x3=1;注：极小值用Min，自变量在运算符左侧，且默认值大于等于0。运算结果：20§6.3单形重心设计（SimplexCentroidDesign）在M{p,d}单形格子设计中，当d2时某些混料设计中格子点的非零坐标并不相等，这种非对称性会使某些点对回归系数的估计产生较大的影响，为改进这一点，Scheffe提出了一种只考虑有相等非零坐标的单形重心设计。单形重心设计的试验点为1到P个顶点的重心，顶点本身就是重心，两个顶点的重心是它们连线的中点，三个顶点的重心是它们组成正三角形的中心，……，P个顶点的重心就是该单形的中心。Scheffe考虑的回归模型为：12121ˆpiiijijijkijkppiijijkyxxxxxxxxx216.3.1试验设计P个因子的单形重心设计的试验点由下列点组成：以为代表的个排列点以为代表的个排列点以为代表的个排列点……以为代表的个排列点1pC2pC1,0,0,,011,,0,,022111,,,0,,03333pC1111,,,,ppppppC这样的点共计有2p-1个。22这些试验点的坐标不依赖于d，通常我们选用饱和设计。在d=1或2时，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但是d2后就不相同了。譬如p=3时，M{3,3}单形重心设计共做2p-1=7次试验，试验点如下：若要建立M{3,2}单形重心设计，那么可以省略第七号试验，只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。236.3.2数据分析用最小二乘的方法求回归参数的估计，由于现在仍是饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，使残差平方和和自由度为不为0时，可以进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。例：现有四种饮料增甜剂，拟将它们配合使用，以降低饮料的饮后余味，采用M{4,4}单形重心设计，有15种配方，记录饮后余味，试进行分析。其混料回归模型为：1ˆpiiijijijkijkijklijkliijijkyxxxxxxxxxx24NOX1X2X3X4Y1100019201008300101540001105000.50.510600.500.55700.50.501180.5000.51290.500.5016100.50.500131100.33330.33330.33338120.333300.33330.333314130.33330.333300.333310140.33330.33330.3333014150.250.250.250.251225R-square99.63%Y=18.3702*X1+7.9922*X2+14.2323*X3+8.6129*X4-14.0707*X2*X4ModelSourceDFSSMSFPrFX11629.5536629.5536742.00040.0001X2196.0984996.09849113.2630.0001X31377.8789377.8789445.37320.0001X41111.6048111.6048131.53890.0