带最优乘子的牛顿法潮流计算的基本原理与求解步骤

2、简述带最优乘子的牛顿法潮流计算的基本原理与求解步骤。解：基本原理将潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组0)()(iiibxgxf),,2,1(ni(1)或f(x)=0(2)式中：x为待求变量组成的n维向量，x=[x1，x2，…，xn]T，bi为给定的常量。可以构造标量函数为niiiniibxgxfxF1221])([)()((3)或)()]([)(xfxfxFT(4)若式(1)表示的非线性代数方程的解存在，则以平方和形式出现的标量函数F(x)的最小值应该为零。若此最小值不能变为零，则说明不存在能满足原方程组即式(1)的解。这样，就把原来的解代数方程组的问题转化为求Tnxxxx],,[**2*1，从而使min)(*xF的问题。这里记使min)(xF的x为x*。牛顿法计算过程中的迭代公式为：)()()()1(kkkkxxx(5)式中：为步长因子，其数值的选择应使目标函数下降最多。要求出目标函数F(x)的极小点，关键要解决的问题是确定第k次迭代的搜索方向)(kx和最优步长因子)(k。在决定搜索方向)(kx的问题上，利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正向量)()()(1)()(kkkxfxJx(6)作为搜索方向，并称之为目标函数在x(k)处的牛顿方向。在决定最优步长因子)(k的问题上，对一定的)(kx，目标函数F(k+1)是步长因子)(k的一个一元函数)()()()()()()1(kkkkkxxFF(7)如果有了)()(k的解析表达式，则)(k可以很容易的通过下式而求得0)()()()()1(kkkkddddF(8)采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可以精确地表示为0)()()()()()0()0(xyxxJxyyxyyxfss(9)引入一个标量乘子以调节变量x的修正步长，于是式(9)可写为0)())(()()())(()()()(2)0()0()0()0(xyxxJxyyxyxxJxyyxyyxfsss(10)其中Tnxfxfxfxf)](,),(),([)(21为使表达式简明起见，定义如下三个向量)(],,,[)(],,,[)(],,,[21)0(21)0(21xyccccxxJbbbbxyyaaaaTnTnsTn(11)于是式(10)可简化成0)(2cbaxf(12)将式(12)代入式(3)，原来的目标函数可写为)()()()(12221niiiiniicbaxfxF(13)将)(xF也即)(对求导，并令其等于零，由此可以求得最优乘子0)]2)([(2])([)(12122niiiiiiniiiicbcbacbadddd(14)将式(14)展开，可得0332210gggg(15)其中niiniiiniiiiniiicgcbgcabgbag12312121102)(3)2()((16)式(15)是一个关于标量的三次代数方程式，可由卡丹(Cardan)公式和牛顿法等求解，所解得的值就是待求的。上述就是带最优乘子的牛顿法潮流计算的基本原理。求解步骤(1)确定一个初始估算值)0(x；(2)置迭代次数k=0；(3)从)(kx出发，计算雅可比矩阵；利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正向量)()()(1)()(kkkxfxJx作为搜索方向；根据式(11)、(15)和(16)求出最优步长因子)(k，由此得到下一个迭代点，即)()()()1(kkkkxxx；(4)校验)1((kxF是否成立，如成立，则)1(kx就是要求的解；否则，令1kk，转向步骤(3),重复循环计算。