8年级勾股定理经典练习答案

1第一讲勾股定理知识要点：1.勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2；2.直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数的推算公式：（1）任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。（2）如果k是大于1的奇数，那么k,212k,212k是一组勾股数。（3）如果k是大于2的偶数，那么k,122K,122K是一组勾股数。（4）如果a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。典型例题：一、逆向思考型例1、（1）如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF图1解：在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得EFAEAF2222215同理ABGHCD221325，，。计算发现()()()52213222，即ABEFGH222，根据勾股定理的逆定理得到AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。故选（B）。（2）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)∴最大的正方形的边长为13cm二、探索规律型2例2、如图2，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…。（1）记正方形ABCD的边长a11，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，aaaaaan34234，，…，，求出，，的值。（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式。图2解：（1）因为四边形ABCD为正方形，图形中有多个等腰直角三角形所以根据勾股定理ACABBC222同理AE=2，EH22因为aaaa1021324312222222()()()()，，，（2）根据以上规律，第n个正方形的边长annn()211（）（n是自然数）三、观图解答型例3、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图3所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。图3解：S1代表面积为S1的正方形的边长的平方，S2代表面积为S2的正方形的边长的平方，又SS12代表斜放置的正方形1的边长的平方和，故SS12=斜放置的正方形1的面积；同理SS34=斜放置的正方形3的面积；所以SSSS123413。四、折叠构造型例4、如图4，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。3图4解：（1）由折叠知，EM=EA，设CD=2a所以DEaEMDMa2，在Rt△EDM中，EMDEDM222所以EAaEAa2222()解得EAa54所以EDa34所以DEDMEMaaa：：：：：：3454345。五、类比猜想型例5、△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图5（1），根据勾股定理，则abc222。若△ABC不是直角三角形，如图5（2）和5（3），请你类比勾股定理，试猜想ab22与c2的关系，并证明你的结论。图5解：若△ABC是锐角三角形，则有abc222若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有abc222。当△ABC是锐角三角形时图6证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BDax根据勾股定理，得bxADcax22222()即bxcaaxx222222所以abcax2222因为a0，x0，所以20ax所以abc222当△ABC是钝角三角形时4图7证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D。设CD为x，则有BDax222根据勾股定理，得()bxaxc2222即abbxc2222因为b0，x0所以2bx0所以abc222六、用方程观点解题例6.（1）已知：如图，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。由已知，可得，因此欲求EF，只要求AF的长。设AF=x，则FC=x，BF=4-x只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程，x2-(4-x)2=9（2）已知：如图8，△ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求△ABC的面积。分析：为了求△ABC的面积，只要求出BC边上的高AD若设BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值问题就能解决。例7、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。答案：3例8、（1）如图，圆柱的高为10cm，底面半径为2cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与AABCDEF5点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?答案2210)2(例9、一架梯子AB的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC为7米。（1）这个梯子顶端离地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？答案：（1）24（2）55-7例10、细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出的值。答案(1)挑战自我：1．(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方BCAACBA6CBA形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13B．26C．47D．94【答案】C2.（2010年眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）答案：CA．90°B．60°C．45°D．30°3．（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．521B．25C．1055D．35【答案】B4．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB米，30BAC°，90C°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．【答案】（2+23）米．5．(2009年四川省内江市)已知Rt△ABC的周长是344，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝_______【答案】8关键词：边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式．6．（2009年湖南）如图，等腰ABC△中，ABAC，AD是底边上的高，若5cm6cmABBC，，则ADcm．【答案】45201510CAB7题CABS1S2ACDB6题BCA30°7【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得：)(362121cmBCBD，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：222ADBDAB,所以，)(4352222cmBDABAD。7．（2009年浙江省湖州市）如图，已知在RtABC△中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于．【答案】2π8.（2009年宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．【答案】29．ABCEFH第12题图8题9．（2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲、乙楼顶BC、刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米．10．（2009年安徽）13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．【答案】2(32)10题11．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．【答案】10，22916n（或23664n）12．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。【答案】76BA6cm3cm1cm11题9题20米乙CBA甲10米？米20米813．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于．答案:2713314．（山东省临沂市）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上．（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得45AB°．ACO△和BDO△都是等腰直角三角形．2AO，22BO．AB，两村的距离为22232ABAOBO（km）．方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形，2CEBD．在RtAEB△中，由45A°，可得3BEEA．223332AB（km）AB，两村的距离为32km．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点AB，为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于两点MN，，作直线MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求．（7分）15．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和1SPAPB，图（2）是方案二的BACDlNMOP北东BACDl9示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和2SPAPB．（1）求1S、2S，并比较它们的大小；（2）请你说明2SPAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服