各态历经过程

各态历经过程各态历经过程问题的提出zz在随机过程的概率分布未知情况下在随机过程的概率分布未知情况下，如要得到随机过程的数字特征如：E[X(t)]、D[X(t)]、Rx(t1，t2)…，只有通过做大量重复的观察试验找到做大量重复的观察试验找到““所有样本函数所有样本函数{{χχ(t(t)})}””，找到各个样本函数χ(t)发生的概率，再对过程的“所有样本函数{χ(t)}”求统计平均求统计平均才可能得到。zz这在实际应用中不易实现这在实际应用中不易实现。z因此，人们想到：能否从一个样本函数能否从一个样本函数χχ(t(t))中提取到整个中提取到整个过程统计特征的信息？过程统计特征的信息？解决方法•19世纪俄国的数学家－辛钦，从理论上证明：存在一种平稳过程存在一种平稳过程，在具备了一定的补充条件（略）下，对它的对它的任何一个样本函数任何一个样本函数χχ(t(t))所做所做的的时间平均时间平均，，在概率意义上趋近于它的统计平在概率意义上趋近于它的统计平均均，，对于具有这样特性的随机过程←称之为“各各态历经过程态历经过程”。•可以理解为：“各态历经过程”的任一个样本函任一个样本函数数χχ(t(t))都经历了过程的各种可能状态都经历了过程的各种可能状态，从它的一个样本函数χ(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。•因此，可以用它的一个样本函数χ(t)的“时间平时间平均均”来代替它的““统计平均统计平均””。←目地。tttxxtxxtxxtxxtX′′′′′′0)()()()()(34134221KtKχχχζ++=L1)(ˆ举例：在较长时间T内，观察一个已工作在稳定状态下的噪声二极管的输出电压。一条样本函数。其时间平均其时间平均：)(tζχ若对χζ(t)采样，将T分成k等份，则时间平均近似于k个采样值χ1，…χk进行的算术平均算术平均：tTtttxxxkk21210MMLLMMM∫=TdttTt0)(1)(ζζχχ若在工作条件不变的情况下，对同一个噪声二极管进行k次独立的重复试验，得到k条样本函数（T→∞时可以看成是从χζ(t)上一段段截取下来的）∑=′=′⋅′=′KjjjxtXPxtXE1})({)]([进行统计平均统计平均。取值的所有时刻状态对任一kxxxtXt′′′′′L21)()(ˆtξχ{}1)]([)(==tXEtPζχ此噪声电压的“时间平均”以概率收敛于它的“统计平均”（期望）)]([tXE′只要只要TT→∞→∞、、kk→∞→∞、、则没有任何理由说：前一方法得到的则没有任何理由说：前一方法得到的比后一方法得到的比后一方法得到的来的大些？还是小些？来的大些？还是小些？)(1})({)]([1})({211kKjjjjxxxKxtXPxtXEjKxtXP′++′+′⋅=′=′⋅′=′∴←=′=′∑=LQ无关与每条样本等可能出现：从统计的意义上看：又由于过程是平稳的，统计平均值是常数：)]([)]([tXEtXE=′又称为“均值各态历经”。),(tXξ),(tXξΩ∈ξ)(txξmdttTttTTT===∫−∞−)(21lim)()(χχχ1各态历经过程的定义）（⋅其结果m是个确定的常数。符号·或表示求时间平均。但由于随机过程X(t)是随时间变化的随机变量，对于每一次实验结果，都有一个与ξ对应的确定时间函数，都有一个与ξ对应的时间平均mξ，所以若对过程求时间平均，则：一、时间平均时间平均1）、时间均值：一般来说，若对一个确定的样本函数χ(t)求时间均值，则2）时间自相关一般来说若对样本函数χ(t)求时间自相关，则其结果是个确定的时间函数。)()()(21lim)()()(ττχχτχχτχfdtttTttRTTT=+=+=∫−∞−)(τf()ξξMdttXTdttXTtXtXTTTTTT====∫∫−∞−−∞−),(21lim)(21lim)()(其中对每一个试验结果，都有一个确定值与其对应，所以随机过程的时间均值一般是个随机变量随机过程的时间均值一般是个随机变量。）（ξMΩ∈ξξm二、严各态历经过程的定义二、严各态历经过程的定义若平稳过程X(t)满足：则称X(t)是严各态历经过程或X(t)具有严各态历经性。1}lim{=∞→统计平均各种时间平均＝相应的TP若对随机过程求时间自相关，则),(tXξ),(),(),(21lim)()(21lim)()()()()(τξτξξττττfdttXtXTdttXtXTtXtXtXtXRTTTTTTX=+=+=+=+=∫∫−∞−−∞−由于对不同的试验结果而言，都有不同的时间函数与之对应，所以，随机过程的时间自相关函数一般随机过程的时间自相关函数一般是个随机过程。是个随机过程。),(τξfΩ∈ξ)(τξf三.三.宽各态历经的定义宽各态历经的定义对于一个平稳随机过程X(t)1）如果“以概率1成立”，则称过程X(t)的均值具有各态历经性。2）如果“以概率1成立”，则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性。若上式成立，则有“以概率1成立”，即过程的均方值也具有各态历经性。3）如果过程X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)为宽（或广义）各态历经过程。XmtXEtXtX===)]([)()()()]()([)()()(ττττXXRtXtXEtXtXR=+=+=)]([)0()0(2tXERRXX==无关。相同与时间自相关所有样本的时间平均，ξea.⇒)()()(21lim)]([)(21limττχχχξξξXTTTTTTRdtttTtXEdttT=+=∫∫−∞−−∞−2.各态历经性在工程应用上的意义据各态历经的定义，必须指出，今后，我们凡提到“各态历经”一词时，除非特别指出，通常都是指的宽各态历经过程。()常数←====XmtXEeaMtX)]([.)(ξ确定函数←===)(.),()(ττξτXXReafR可得一、在工程应用上，可以用各态历经过程的在工程应用上，可以用各态历经过程的““任一个样本函数的任一个样本函数的时间平均时间平均””来代替来代替““整个过程的统计平均整个过程的统计平均””。。电阻上的总平均功率。噪声电压消耗在可以看成Ω←==∫−∞−1)(21lim)0(])([22TTTXdttTRtXEξχ1、过程的过程的““期望期望””→→代表过程的代表过程的““直流分量直流分量””二、各态历经过程（一，二阶）矩所代表的物理意义2、过程的过程的““均方值均方值””→→代表过程的代表过程的““总平均功率总平均功率””3、过程的过程的““方差方差””→→代表过程的代表过程的““交流平均功率交流平均功率””流。就是平均电压或平均电流的样本，看成一个噪声电压或电若将⇐=∫−∞−TTTdttTtXEt)(21lim)]([)(ξξχχ。电阻上的交流平均功率噪声电压消耗在可以看成Ω←−==∫−∞−1])([21lim)0(22TTXTXXdtmtTCξχσ0])([)211lim202=−⋅∫∞−TXXTdmRTTτττ－（3.随机过程具备各态历经性的条件1、各态历经过程一定是平稳随机过程（反之则不一定）各态历经过程一定是平稳随机过程（反之则不一定）。2、平稳随机过程的均值均值具有各态历经性的充要条件具有各态历经性的充要条件tmmmmtYY0)(321tmtXX0)(不是各态历经过程。，是各态历经过程。←≠∴⎩⎨⎧==←=∴⎩⎨⎧==)()]([)()()]([)()]([,)()]([tYtYEMtYmtYEtXtXEmtXmtXEYXXξQQ∞∫∞ττdRX0)(3、平稳随机过程的自相关函数自相关函数具有各态历经性的充要条件具有各态历经性的充要条件4、正态平稳随机过程具有各态历经性的充分条件)]()()()([)(0)]()([)211lim111201211tXtXtXtXEBdRBTTTXTτττττττττ++++==−⋅∫∞−式中－（由于，在工程中所遇到的大多数平稳随机过程，每个样本都出于同一随机因素，因而各样本都具有相同的概率分布特性，可以认为工程中所遇到的大多数平稳随机过程都具有各态历经性。因此，人们通常凭凭““经验经验””先先把各态历经性作为一种假设把各态历经性作为一种假设，再再根据实验来检验此假设是否合理根据实验来检验此假设是否合理。