初中数学动点轨迹问题解法探究

龙源期刊网初中数学动点轨迹问题解法探究作者：曾立萱来源：《读写算》2018年第10期摘要在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，借助引参量、消参数的代数方法发现动点坐标、动点之间的联系。也可以借助常见的几何模型探究几何动态中动点形成轨迹的过程，利用轨迹思想解决几何中线段最值问题、求动点的轨迹长度的问题。关键词轨迹意识；引参量；消参数；几何动态；最值；运动路径；四点共圆；辅助圆；隐轨迹中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1002-7661（2018）10-0147-02在初中阶段常见的动点轨迹一般有四种类型：直线型、圆弧型、抛物线型、双曲线型。对于用二次函数来表示动点的轨迹是高中函数重点学习内容，本文不以具体阐述。对于几何动点轨迹问题是近年中考的热点，也是难点。本文借助几种常见的类型题，带领同学们强化轨迹思想，学会利用轨迹思想解决几何中线段最值问题、求动点的轨迹长度的问题。在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量：数量或位置关系。学生在解决此类问题时经常不知所措，究其原因是不能发现“动”中的“静”。如何“化动为静”呢？可以借助引参量、消参数的代数方法发现动点的坐标、动点之间的联系。也可以用“中垂线的性质定理”、“点到直线的距离”、“圆的定义”、“四点共圆”的条件去探究几何动态中动点形成轨迹的过程。类型一：动点旋转型——探究动点的轨迹是直线例1：如图1，已知A（8，0），P（0，m），线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接BA、OB，求BO+BA的最小值？解析：主动点是P，动点B因P的变化而变化，但点B随着点P的运动而动，问题的关键是找出动点B的运动轨迹。由旋转可知是等腰直角三角形，过点B作轴的垂线，构造“K型全等”，求得点B（），消去参数，发现动点B的运动轨迹是直线。从而将问题转化为“将军钦马”问题模型：即作点O关于直线的对称点（-8，8），连结AC与直线相交于点B，此时BO+BA的最小值=AC=本题的解析关健是从动点B的坐标（）中想到消去参数，得一次函数的表达式，从而化“动点轨迹”为定直线。笔者认为，用这样的方式去分析解决问题体现了初中数学中消参思想、转化思想，重点突出了函数知识的应用、强化了模型意识，对培养学生的数学思维是有积极作用的。类型二：动点平移型——探究动点的轨迹是线段龙源期刊网：如图2，点P是正方形ABCD的边BC上的一个动点，BC=。点Q在线段BC延长线上，且BP=CQ，过Q作QO⊥BD于O，求在点P运动过程中，线段OP中点M的运动路径长。解析：双动点P、Q在同一条直线上平移，由BP=CQ，易证四边形APQD是平行四边形，且是等腰直角三角形。而对于动点O、P的中点M的运动路径是什么形状，这里很难“一眼看穿”，而在初中平面几何中合情推理是解决问题的有效手段。所以可由“特殊到一般”，寻找动点P、Q、O、M的开始位置、终止位置、中间某一位置，通过画图的方法探究动点的形成过程。如图2如示：开始动点P与点B重合，动点Q与点C重合，点O是对角线AC与BD的交点，故点M1在的位置；终止时动点P与点C重合，动点Q满足，点O与点D重合，故动点在CD边的中点上，所以线段OP中点M的运动路径长=线段的长=我们知道数学中的合情推理并不是严谨的解题方法，所以可以引导学生们做进一步的思考：如何证明线段OP中点M的运动路径就是线段？仍然可以用函数的思想，建立合适的平面直角坐标系（以点B为坐标原点，分别以直线BC、直线AB为轴、轴），设BP=CQ=容易得出点P的坐标是（），点Q（），点O（，）由中点坐标公式可得M（，消去参数t，所以动点M在直线上运动。由题意可知，所以动点M的起点坐标是，终止坐标是，由“两点之间的距离公式得”点M的运动路径长=本题的两种不同解法按学生知识架构的“由浅入深”的过程，把“几何问题代数化”从而使问题得到完美的解决。变式练习：如图3，在边长为4的等边中，动点P在BC边上从点B到点C运动，求线段AP的中点Q的运动路径长？分析可得：过A作于点H，动点Q到直线BC的距离始终等于AH，所以动点Q在中位线DE上运动，故线段AP的中点Q的运动路径长=2类型三：“动点到定点的距离是定长”类型——探究动点的轨迹是圆弧例3：如图4，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60度，点M是AD的中点，点N是AB边上的一个动点，将△AMN沿直线MN折叠到△A'MN，连接A'C，则线段A'C长度的最小值是解析：用动点的轨迹意识来解决线段长的最值问题，成为这几年的中考填空压轴题的热点。当问题的背景能得到“动点到定点的距离是定长”，则可用圆的定义知：动点的运动轨迹是圆弧。如图可知A'M=1，所以无论动点N在何位置，动点A'在以点M为圆心，1为半径的圆M上运动。故由“两点之间，线段最短”可知，当A'、M、C三点共线时，线段A'C最小值==龙源期刊网解决此类动点轨迹问题的关键是寻找圆的圆心与半径，在问题背景上常提问“几何线段最值”，所以常考虑求几何线段最值的依据：三角形三边关系；两点之间线段最短；垂线段最短等。通过以上具体教学例题的分析，可以得知在初中生现有的知识范围内，中考中常见的动态问题中，动点等动元素是在一个不变的背景下或者框架下运动的。动点轨迹一般都是确定的，只是有的时候题目直接交代了，属于“显轨迹”，而有的题目没有明确交代，自然可称为“隐轨迹”，发现了这些轨迹、路径，所谓的动态问题也将不再那么的无迹可寻！找到了轨迹，就找到了要害！总而言之，在教学中教师要帮助学生们树立用轨迹思想解决动态问题的意识，并且要反复强化，以达到熟能生巧的地步！参考文献：[1]张卫东.初中数学动点轨迹初探[J].中学数学教学参考旬刊，2016（4）：67-69.[2]孙世军.浅谈初中数学动点问题的解题策略[J].中学课程辅导（教师教育），2015（23）.