随机过程及其应用-习题答案(陆大金)

第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A和B，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。如果每一乘客以概率21登上A车，以概率21登上B车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用jξ代表t=j时乘客登上A车的状态，即乘客登上A车则jξ＝1，乘客登上B车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====jjPPξξ当t＝n时在A车上的乘客数为nnjjnηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。（1）求nη的概率，即;,...,2,1,0?}{nkkPn===η（2）当公共汽车A上到达10个乘客时，A即开车（例如t＝21时921=η，且t＝22时又有一个乘客乘A车，则t＝22时A车出发），求A车的出发时间n的概率分布。解（1）：nnknkP⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η解（2）：nnnnPP⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n9A1-n(}nA{1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(tξ。图题1－2画出了它的样本函数。试求)(tξ的一维概率密度)(xftξ。解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}tAAnnnTtnTfxPxAPxPtAPPtPtnTnTnTPtAPtnTnTPtnTdTTtnTTnTtTtnTtnTTtnPtPtAξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()tATtnTTfxPxAPxttnxAnxTTξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(tξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题1－3(a)、(b)画出了两个样本函数图。各样本函数具有统一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在t=0后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在（0，T）内均匀分布，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它值）(0)0(1)(0TtTtfτ若锯齿波的幅度为A，求随机过程)(tξ的一维概率密度。解（1）：)(tξ取值在0，A之间，且均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它值）(0)0(1)()(AxAxftξ解（2）：令)(tξ＝x，则x=k(t-0τ)，)0(Ax≤≤，t=TTtt⎥⎦⎥⎢⎣⎢−'',k为斜率。所以0τ=t-kx。⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−•==其它值）(0)0(111)()(AxAkTxftξ第4题设有随机过程)(sincos)(∞−∞+=ttttωηωξζ其中ω为常数，且ω0，ξ和η是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为)(}2exp{21)()(}2exp{21)(22∞−∞−=∞−∞−=yyxfxxxfππηξ即ξ和η是正态分布N（0，1）随机变量。若把)(tζ写成)sin()(φωζ+=tVt的形式，（1）求),,(),(),(ϕϕϕϕvffvfvv问V和φ是否统计独立。（2）画出)(tζ的典型样本函数；（3）求)(tζ的一维概率密度)(zftξ；（4）设有事件A，})(2{/02cdttAΔ∫ωπζπω，其中c为常数，求出现A事件的概率P(A)。解（1）：ηξ,相互独立，故其联合概率密度为)()(),(yfxfyxfηξξη⋅=，利用随机变量变换后的概率密度的公式，可得到φ,v的联合概率密度：Jvfvfvfv⋅⋅=)cos()sin(),(φφφηξφtttVtVtVtωηωξωφωφφωζsincossincoscossin)sin()(+=+=+=⎩⎨⎧==φηφξcossinVV⎪⎩⎪⎨⎧=+∞+=−)20(tan)0(122πφηξφηξVVJacobi行列式：(sin)(cos)sincos(,)(sin)(cos)cossin(,)vvvvJVvvVVVφφφφξηφφφφφφφ∂∂∂∂∂====∂∂−∂∂∂222)()(||),(||)),(),,((),(VVeVVyfxfJyxfJvvfvf−==•=•=πϕηϕξϕηξξηξηφ所以φ,v的联合概率密度vvvfv⋅−=)2exp(21),(2πφφ。该式分别对φ,v在各自的定义域内积分，即得φ,v的概率密度：2202),()(VVVVedvfvf−==∫πφϕϕππϕϕφφ212),()(0202===∫∫∞+−+∞dveVdvvffVV因为),()()(φφφφvffvfvv=⋅，所以可知二者统计独立。解（2）：典型样本函数图形，略。解（3）：利用特征函数求解。在t时刻，cos(wt),sin(wt)值均给定。高斯随机变量ξ的特征函数为2()exp2uuξ⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠高斯随机变量η的特征函数为2()exp2uuη⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠因此ttωηωξsin,cos的特征函数分别为，22cos()(cos)exp2ututξωω⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠，22sin()(sin)exp2ututηωω⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠又因为tttωηωξζsincos)(+=，故随机变量ζ的特征函数为2(cos)(sin)exp2uututξηωω⎛⎞Φ⋅Φ=−⎜⎟⎝⎠，所以随机变量ζ的概率密度为其特征函数的傅立叶反变换，计算得：21()exp22zfzζπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠解（4）：若c小于零，则事件A为必然事件，P（A）=1；若c大于等于零，考察∫ωπζπω/02)(2dtt，变形为：2/022)(sin2vdttv=+∫ωπφωπωP{A}=P{cv2}=P{cv}=2exp2cvvdv∞⎛⎞⋅−⎜⎟⎝⎠∫=exp2c⎛⎞−⎜⎟⎝⎠第5题求第4题所给出的随机过程)(tζ的均值和自相关函数。解：0sin}{cos}{}sincos{)}({=+=+=tEtEttEtEωηωξωηωξζ121211222121222112121212(,){()()}{(cossin)(cossin)}{}coscos{}cossin{}cossin{}sinsincoscossinsincos()cos()RttEttEttttEttEttEttEttttttttξζζξωηωξωηωξωωξηωωξηωωηωωωωωωωωωτ==++=+++=+=−=第6题设有随机过程)(tξ，并设x是一实数，定义另一个随机过程)(tη⎩⎨⎧≥==))((0)())((1)(xttxttξηξη试证)(tη的均值和自相关函数分别为随机过程)(tξ的一维和二维分布函数。解：),())(,)({))(,)({11)}()({)())({})({0))({1)}({212211221121xxFxtxtPxtxtPttExFxtPxtPxtPtEξξξξξξηηξξξη==•===≥•+•=第7题设有随机过程ttttcos)(},),({ηξξ=∞∞−，其中η为均匀分布于（0,1）间的随机变量，即⎩⎨⎧≤=值）其它y(0)10(1)(yyfη试证：（1）12121(,)coscos3Rttttξξ=（2）12121(,)coscos12Cttttξξ=解（1）：12122121212012(,){coscos}{}coscoscoscos1coscos3RttEttEttdttttξξηηηηη====∫解（2）：101211221{}21{}{cos}{}coscos211(,){(coscos)(coscos)}22EdEEtEttCttEttttξξηηηξηηηη======−−∫21212121212121212121{}coscos{}coscos211{}coscoscoscos241111coscoscoscoscoscoscoscos34441coscos12EttEttEttttttttttttttηηη=−−+=−−+=第8题设有一随机过程)(tξ作为图题1－8所示的线性系统的输入，系统的输出为)(tη，若)(tξ的相关函数为),(21ttRξξ，是求输出随机过程)(tη的自相关函数（用输入过程的相关函数表示）。解：121211221212121212121212(,){()()}{[()()][()()]}{()()}{()()}{()()}{()()}(,)(,)(,)(,)RttEttEtTttTtEtTtTEtTtEttTEttRtTtTRtTtRttTRttηηξξξξξξξξηηξξξξξξξξξξξξ==−−−−=−−−−−−+=−−−−−−+第9题设),(tωξ是§3例二所定义的随机电报信号（即任何时刻),(tωξ以概率1／2取值0或1，单位内时间波形平均变化次数为ξλ），),(tωη也是0、1随机电报信号，它在单位内时间波形平均变化次数为ηλ，且),(tωξ和),(tωη是相互统计独立的；又设随机过程),(tωζ是),(tωξ、),(tωη两随机信号之和，即),(tωζ＝),(tωξ＋),(tωη。（1）试画出),(tωζ的典型样本函数；（2）试求),(tωζ的一维概率密度；（3）设有两时刻t1,t2,求)(1tζ和)(2tζ的二维联合概率密度。解（1）：略。解（2）：{(,)0}{(,)0}{(,)0}111224{(,)1}{(,)0}{(,)1}{(,)0}{(,)1}1111122222{(,)2}{(,)1}{(,)1}111224111()()(1)(2)424PtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtfzzzzζζωξωηωζωξωηωξωηωζωξωηωδδδ=====•=====+===•+•======•=∴=+−+−解（3）：随机电报信号t1,t2之间发生偶数次变化的概率是)1(21)!)]([!)]([(21!)]([)(2)(012)(012)(1212121212ttttkkttkkttevenkkeekttekttektt−−−−∞=−−∞=−−=+=−−+−=−∑∑∑λλλλλλλ随机电报信号t1,t2之间发生奇数次变化的概率是)1(21)!)]([!)]([(21!)]([)(2)(012)(012)(1212121212ttttkkttkkttoddkkeekttekttektt−−−−∞=−−∞=−−=−=−−−−=−∑∑∑λλλλλλλ)(1tζ和)(2tζ的二维联合概率密度＝1212121212121212121212121221{}(){}1()4{}](1){}(2){}{1(1)4tttttttttttttttttttttttPzPzPzPzPPzξξηηδξξηηδξξηηδξξηηδξξηηξξηηδ⎧⎫⎪⎪+⎪⎪=⎨⎬+−⎪⎪⎪⎪+−⎩⎭++−偶数次变化偶数次变化［偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化［偶数次变化奇数次变化奇数次变化21212121212121212121222221}]()2{}{}](1){}{}](2){}()1(2)4tttttttttttttttttttttzPPzPPzPzzδξξηηξξηηδξξηηξξηηδξξηηδδ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪+⎪⎪⎨⎬+−⎪⎪⎪⎪+⎪⎪⎪⎪+−⎩⎭++−偶数次变化［奇数次变化奇数次变化偶数次变化偶数次变化［偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化12121212121222{}{}](1){}(2)ttttttttttttPPzPzξξηηξξηηδξξηηδ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬+−⎪⎪⎪⎪+−⎩⎭［偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化偶数次变化偶数次变化2121212121212()