第8节-二项分布及其应用(理)

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3．能解决一些简单的实际问题．1．条件概率及其性质2．事件的相互独立性(1)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．(2)如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立．3．独立重复试验在条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．P(A)P(B)AB相同4．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称为成功概率．pk(1－p)n－kX～B(n，p)p1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于()A.B.C.D.解析：P(B|A)＝答案：D2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.B.C.D.解析：所求概率P＝·()1·(1－)3－1＝.答案：A3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88解析：至少有一人被录取的概率P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.4×0.3＝1－0.12＝0.88.答案：D4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01)解析：P＝×(0.80)3×(0.20)2＋×(0.80)4×0.20＋(0.80)5≈0.94.答案：0.945．有1道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率为，2人试图独立地在半小时内解决它．则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：设“半小时内甲独立解决该问题”为事件A，“半小时内乙独立解决该问题”为事件B，那么两人都未解决该问题就是事件，∴P()＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)×(1－)＝.“问题得到解决”与“问题没得到解决”是对立事件，∴1－P()＝1－答案：条件概率的求法1．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.2．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？[思路点拨][课堂笔记]记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．则P(B)＝，P()＝1－P(B)＝，P(A|B)＝，P(A|)＝，从而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()1.相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为；A、B恰有一个发生的事件为A∪B；A、B中至多有一个发生的事件为A∪B∪.[特别警示]互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．[思路点拨][课堂笔记](1)法一：设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝，解得p＝或p＝(舍去)，所以乙投球的命中率为.法二：设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得：P()P()＝，于是P()＝或P()＝－(舍去)，故p＝1－P()＝.所以乙投球的命中率为.(2)法一：由题设知，P(A)＝，P()＝.故甲投球2次至少命中1次的概率为1－P()＝.法二：由题设知，P(A)＝，P()＝.故甲投球2次至少命中1次的概率为P(A)P()＋P(A)P(A)＝.(3)由题设和(1)知，P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为P(A)P()P(B)P()＝，P(A)P(A)P()P()＝，P()P()P(B)P(B)＝.所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为1.独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，各次试验中的条件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．关于P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是每次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n、p、k的意义，才能正确地运用公式．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．[思路点拨][课堂笔记]记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi(i＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件2A3，且三次试跳相互独立．所以P(2A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.即甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.法一：因为C＝A1＋＋B1，且A1、、B1彼此互斥，所以P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：P(C)＝1－P()·P()＝1－0.3×0.4＝0.88.即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.(3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i＝0,1,2)，因为事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0＋M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件．所以所求的概率为P(M1N0＋M2N1)＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4＝0.0672＋0.2352＝0.3024.即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.1.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．2．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.在利用该公式时一定要审清公式中的n，k各是多少．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．[思路点拨][课堂笔记](1)任选1名下岗人员，设“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P1＝P()＝P()·P()＝0.4×0.25＝0.1.所以该人参加过培训的概率是P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是P3＝P(A·)＋P(·B)＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.该人参加过两项培训的概率是P4＝P(A·B)＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P5＝P3＋P4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝×0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，即ξ的分布列为：ξ0123P0.0010.0270.2430.729以解答题的形式考查二项分布的概念、特征以及相关计算是高考对本节内容的常规考法.09年辽宁高考将二项分布同相互独立事件、互斥事件和对立事件概率的求解以及分布列等相结合考查，是一个新的考查方向．[考题印证](2009·辽宁高考)(12分)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．【解】(1)依题意知X～B(4，)，即X的分布列为X01234P(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1∪B1∪A1B1∪A2B2，┄┄┄┄┄┄(9分)┄┄┄(6分)故所求的概率为P(A)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)[自主体验]在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次产品检验不合格的概率分别为，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．(1)求至少有2件甲批次产品不合格的概率；(2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．解：(1)记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.由题意，事件A包括以下两个互斥事件：①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得P(B)＝；②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．由相互独立事件概率公式，得P(C)＝.所以，P(A)＝P(B)＋P(C)＝.(2)记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D.由题意，事件D包括以下三个互斥事件：①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格．其概率P(E)＝；②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．其概率P(F)＝＝；③事件G：有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．其概率P(G)＝＝.所以，P(D)＝P(E)＋P(F)＋P(G)＝.1．(2009·上海高考)若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(E∩F)的