《一元二次方程》各节知识点及典型例题

朱国林1第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是，a是，bx是，b是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1B．0C．-1D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A.x2=-1B.2x（x-1）+1=2x2C.x2+3x=2xD.ax2+bx+c-02、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？朱国林23、若关于x的一元二次方程（a-2）x2+ax=3是一元二次方程，则a的取值范围是4、把方程(x-1)2-3x（x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a是方程x2-3x+1=0的一个根，求2a2-5a-2+231a的值6、若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，abc满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A.1，0B.-1，0C.1，-1D.1，27、已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，且a≠b，求2222abab的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。2、因式分解法的理论依据是：若ab=0，则或3、利用因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）将方程的化为0；（2）把方程的另一边分解成的乘积（3）令每个因式，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的解。【在温州中考题中，若题中要求你用因式分解法解一元二次方程，只需要掌握两种分解因式的方法：①提公因式法分解因式；②用完全平方公式或平方差公式来分解因式】（二）4、开平方法：一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据的定义，解得x1=,x2=,这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。5、①形如x2=a（a≥0）或(x-a)2=b（b≥0）的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解②用直接开平方法解方程(x-a)2=b（b≥0）得x1=，x2=（三）6、配方法：把一元二次方程的左边配成一个式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。7、利用配方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一般形式（2）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1（3）移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项（4）配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方式（5）求解：若方程的右边是非负数，就用开平方法求解；如果右边是个负数，就可以直接拉出原方程无实数解（四）8、一元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O），如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根是，这个公式叫做一元二次方程的求根公式。9、公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）的值，直接求得方程的朱国林3根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。10、利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成（2）确定的值（可以在大脑中确定，也可以在做题时写在题目中）（3）求出的值（4）若b2-4ac＜0，则方程无实数解；若，则将a,b,c和b2-4ac代入公式x=242bbaca，求出方程和解。（五）11、在一元二次方程的求根公式x=242bbaca中，把叫做一元二次方程的判别式。12、b2-4ac的值与一元二次方程的根的关系：若b2-4ac＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）有两个实数解（或实数根）若b2-4ac=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）有两个实数解（或实数根）若b2-4ac＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）实数解（或实数根）【典型例题】1.（2004年浙江温州5分）方程(x－1)(x+2)(x－3)=0的根是。2、如果A2-B2=0，则下列结论中正确的是（）A.A=BB.A=-BC.A=B=0D.A=B或A=-B3、一元二次方程x2-4x+4=0的根是__________4、当a=_________，代数式(a-2)2与4-2a的值相等5、用因式分解法解方程（1）216100xx（2）2(25)(1)(25)xxxx★★★★6、（拓展）已知(a2+b2)(a2+b2+1)=a2+b2+1，求a2+b2的值1、下列方程能用直接开平方法求解的是（）A.5x2+2=0B.4x2-2x-1=0C.12(x-2)2=4D.3x2+4=22、若关于x的一元二次方程5x2-k=0有实数根，则k的取值范围是_________3、已知(a2+b2-1)2=9，则a2+b2=_________4、已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，且a，b满足等式b=11aa-4，求方程13y2-2c=0的根朱国林45、用开平方法解下列方程（1）2 9(x1)25（2）26x181（3）(x-1)2=(3x-4)21、（1）x2-23x+____=(x-____)2（2）3x2+12x+____=3(x+____)2（3）12x2-5x+____=12(x-____)22、若x2+ax+9是关于x的完全平方式，则常数a的值是__________3、多项式4x2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是4、一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15，那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为（）A.(x-4)2=17B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17D.(x-4)2=17或(x+4)2=175、若x为任意实数，则x2+4x+7的最小值为__________★★★★当x=_______时，代数式3x2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______6、用配方法证明：关于x的方程(m2-12m+37)x2+3mx+1=0，无论m为何值，此方程都是一元二次方程。7、不论x、y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A.总不小于2B.总不小于7C.可以为任何实数D.可能为负数8、a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9、若实数a，b，c满足a2+6b=-17，b2+8c=-23,，c2+2a=14，求a+b+c的值10、已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2（1）求证：B-A＞0（2）比较A与C的大小，并说明理由11、用配方法解方程（1）232xx（2）23410xx（5）2(1)2(1)8xx朱国林51、（2013年浙江温州5分）方程0122xx的根是__________2、若方程2x2+mx+1=0，且b2-4ac的值是16，则m=__________3、已知方程2x2+4x+c=0，且b2-4ac=0，则方程的根为4、已知关于x的一元二次方程(ax+1)(x-a)=a-2的各项系数之和等于3，求方程的解。5、用求根公式法解方程（1）22x5x30（2)22x13x1、（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解2、（2013•咸宁）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣13、（2013兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是★★★★★已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2kx-1=0有实数根，求k的取值范围。4、已知关于x的一元二次方程04222kxx有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。5、已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0（1）求证：这个方程总有两个实数根（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长。朱国林6【课本相关知识点】（一）1、列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：（1）审清题意：明确问题中的已知量、未知量及量与量之间的关系（2）设未知数：把问题中的未知量用字母表示出来。一般有直接设未知数和间接设未知数（3）列方程：把题目中的相等关系用含未知数的等式表示，得到一元二次方程（4）解方程：把所列的一元二次方程的未知数求出来（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。2、解决销售问题的依据是：销售利润=（售价-进价）×销量。其一般规律是：售价下降，则销量上升；反之，售价上升，则销量下降3、（1）平均增长率公式：其中a是基础量，b是增长后的量，n是增长的次数，x是平均增长率（2）平均减少率公式：其中a是基础量，b是减少后的量，n是减少的次数，x是平均减少率补充：4、传染问题：（几何级数）传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x）】患者：第一轮后：共（1+x）个第二轮后：共（1+x）•（1+x），即(1+x)2个第三轮后：共（1+x）•（1+x）•（1+x），即(1+x)3个……第n轮后：共有(1+x)n个注意：【上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为a，则第n轮后患者共为：a(1+x)n个】补充：5、赛制循环问题：单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共12x（x-1）场；双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；注意：【单循环比双循环少了一半】补充：6、数字问题解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数，一般采用间接设元法多位数的表示方法：两位数=十位上的数字×10+个位数字；三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字，依次类推补充：7、银行利率应用题（含利滚利问题）：与前面的平均增长率问题类似（年利率为a%）存一年的本息和：本金×(1+年利率），即本金×（1+a%）存两年的本息和：本金×(1+年利率)2，即本金×(1+a%)2存三年的本息和：本金×(1+年利率)3，即本金×(1+a%)3存n年的本息和：本金×(1+年利率)n，即本金×(1+a%)n（二）1、列一元二次方程解决面积问题时，其解题的关键是掌握三角形、长方形、正方形、梯