微积分基本定理

bxxxxxann1210],[1iiixx任取niixf1)(做和式：常数）且有，(/))((lim10Anabfniin复习：1、定积分是怎样定义？设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：把区间[a,b]等分成n个小区间，],[1iixx在每个小区间./))((1nabfniibadxxf)(则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)记作nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即xfSii)(被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即积分和1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：定积分就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)(2、定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba)(复习：2、定积分的几何意义是什么？,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba说明：1A2A3A4A定积分的简单性质(1)()()()bbaakfxdxkfxdxk为常数1212(2)[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx(3)()()()(acb)bcbaacfxdxfxdxfxdx题型1：定积分的简单性质的应用20082007102132)()()()(1dxxfdxxfdxxfdxxf、化简481,9,29,323033023030dxxdxxxdxdx、已知，?)1512218()2(?)8634123032330dxxxxdxxxx（）（求：点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差题型2：定积分的几何意义的应用＝？、3141dx＝？、axdx02＝？、dxx302938221a问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。49问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规律S＝S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段〔a，b〕内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t)来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，所以又有).()(d)(asbsttvba由于，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).)()(tvts'battvd)(从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为.d)(battvs探究新知：tOytyyBniSSSSS21aaybSa(t)0t1it1itnb(t)nt1t2S1S2iSnS1h2hihnhAbyaybySttvSii1吗？表示，你能分别用内的位移为时间段设这个物体在的速度为时刻的概念可知，它在任意由导数是运动的物体的运动规律如图：一个作变速直线S,,,,'tvtySbatytvttyy1'itynabttyi1'aybySbadtty'tyyaybyniSSSSS211'1'1iiiitynabttyttvSttytDPChSiii1'tanttvSniin11limniintty11'limdttvbaaybydttySba'微积分基本定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作说明：牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。例1计算下列定积分解（１）()()|()()bbaafxdxFxFbFa找出f(x)的原函数是关键dxx21113122xdxxx1ln'2ln1ln2lnln12121xdxxabxdxxbabalnlnln11：公式813222231312xxdx练习1:____4____3____2____112131031010dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121：公式例２．计算定积分解:dxxx3122132'2'311,3xxxxdxxdxxdxxdxx3123123123121313原式37611311313331313xx达标练习：___14___1233___12___2312121221102dxedxxxdxxxdttx12ln23912ee初等函数微积分基本定理)()()(aFbFdxxfba三、小结banbannxdxx121：公式abxdxxbabalnlnln11：公式|bacx11|1nbaxn++cos|bax-sin|bax定积分公式'6)()xxbxaedxee'7)()lnaxbxxadxaaa'15)(ln)1baxxdxx'1)()bacxccdx'12)bnnnaxnxdxx'3)(sin)coscosbaxdxxx'4)(cos)sinsinbaxdxxxln|||bax|xbae|lnxbaaa牛顿•牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。•牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。•牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。返回莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。返回基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则返回nx1nnx1x1lnxasinxcosxsinxcosxxexalnxaaxec0函数f(x)导函数f′(x)回顾：基本初等函数的导数公式logaxlnx被积函数f(x)一个原函数F(x)新知：基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxnsinxcosxsinxcosxxalnxaaxexe1x.xdxsin,dxxsin,dxxsin:2π20π2ππ0计算下列定积分例π0π0'|xcosdxxsin,xsinxcos因为解;20cosπcosπ2ππ2π|xcosdxxsin;2πcosπ2cosπ20π2|xcosdxxsin0.00cosπ2cos问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．2sinxdx20sinxdx我们发现：（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0；（2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；（3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值；（4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方的面积时，定积分的值为0．得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。的解析式求且点是一次函数，其图象过、已知)(,1)(),4,3()(110xfdxxfxf微积分与其他函数知识综合举例：的最大值。求、已知)(,)2()(21022afdxxaaxaf练一练：已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,的值求cbadxxf,,,2)(10例1求.)1sincos2(20dxxx原式20(2sincos)|xxx.23例2设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12