必修4-平面向量总复习

必修四平面向量专题复习知识网络平面向量加法、减法数乘向量坐标表示两向量数量积零向量、单位向量、共线向量、相等向量向量平行的充要条件平面向量基本定理两向量的夹角公式向量垂直的充要条件两点的距离公式向量的概念解决图形的平行和比例问题解决图形的垂直和角度,长度问题向量的初步应用向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念几何表示:有向线段向量的表示字母表示坐标表示:(x，y)若A(x1,y1),B(x2,y2)则AB=(x2－x1,y2－y1)一、平面向量概念向量的模（长度）1.设a=(x,y),则2.若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则22yx221221yyxx一、平面向量概念1.向量的加法运算ABCAB+BC=三角形法则OABCOA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a+b=重要结论：AB+BC+CA=0设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC一、平面向量概念2.向量的减法运算1）减法法则：OAB2）坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a－b=3.加法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1－x2,y1－y2)OA－OB=一、平面向量概念练习_____;______;______;______;______.ABBDBABCBCCAODOAOAOB填空：ADBAADBACA4.实数λ与向量a的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！λa是一个向量.它的长度|λa|=|λ||a|；它的方向若a=(x,y),则λa=λ(x,y)=(λx,λy)(2)当λ＜0时,λa的方向与a方向相反.(1)当λ≥0时,λa的方向与a方向相同；一、平面向量概念则存在唯一实数，使得结论:设表示与非零向量同向的单位向量.a定理1:两个非零向量平行(方向相同或相反)一、平面向量概念向量垂直充要条件的两种形式:0)2(0)1(2121yyxxbabababa二、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:0)0),,(),,((//)2(;)0(//)1(12212211yxyxbyxbyxabababba（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.即:那么),,(11yxa),(22yxb2121yyxxba且三、平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使21,ee,,21a2211eea1、平面向量数量积的定义：bacos||||ba2、数量积的几何意义：||||cos.aabab等于的长度与在方向上的投影的乘积OABθB1(四)数量积abba）（1）（）（））（（bababa2cbcacba））（（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算5、数量积的主要性质及其坐标表示：0012121yyxxbaba反向时，，当同向时，，当时，当babababababa//.221212,)3(yxaaaaaa222221212121cos4yxyxyyxxbaba),(是两个非零向量bababa5例1.设非零向量不共线，若试求k.ba,,bakc),(Rkbkad,//dc解：∵∴由向量共线的充要条件得：即又∵不共线∴由平面向量的基本定理.1,2,,1,22.abxababx例7已知向量分别求出当与平行和垂直时实数的值解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D例8．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|=+=BD·DC=+=∴AD=BD·DC21294923232921492949492922例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BD·DC例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（）A.B.C.D.解析设a和b的夹角为θ，|a|cosθ=C1351356565|b|ba.56565137)4(73)4(222例15．已知1ba，且)54,53(ba求：①a与b的夹角θ；②ba21121)54,53(222＝＝＝）即（babbaabababa120]180,0[21cosbaba332222babbaaba解：解：∵22222121211222244aeeeeeeee222112144cos6041411172eeee∴7a同理可得7b22121211227232622abeeeeeeee712cos277abab∴θ=120°[解][答案]CABACABACABACBCABCABACABAC例18(06陕西)已知非零向量与满足1(+)=0且=则为()2A,三边均不相等的三角形,B直角三角形,C,等腰非等边三角形,D等边三角形,,,60,ABACAABACAABACABACAABACA解析:+在的平分线上,由题意得的平分线垂直于边BC,1故又=11cos=2故选D.ABC,(),,,ABCPAPBPBPCPCPAABCABCD例19(05湖南)已知P是所在平面上一点,若则P是的外心,内心,重心,垂心.()0,,:,,PAPBPBPCPBPAPCPBCAPBCAPABCPCABP解析:由得同理可得故为垂心,选D.ABCP[解析]21、(东北三校2008年高三第一次联考)已知向量3(sin,),(cos,1).2axbx（1）当//ab时，求22cossin2xx的值；（2）求bbaxf)()(在,02上的值域．（2）1(sincos,)2abxx2()()sin(2)24fxabbx∵02x，∴32444x，∴21sin(2)42x∴21()22fx∴函数21,22)(的值域为xf22、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)已知向量a=（−cosx,sinx），b=（cosx,3cosx），函数f(x)=ab,[0,]x（1）求函数f(x)的最大值（2）当函数f(x)取得最大值时，求向量ab与夹角的大小．[解](1)f（x）=ab=−cos2x+3sinxcosx=23sin2x−21cos2x−21=sin（2x−6）−21∵x∈[0，π]，∴当x=3时，f（x）max=1−21=21(2)此时x=3,设向量ab与夹角为，则cos=baba=xcos41=3cos41=21所以向量ab与夹角为3【例23】已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin)，且x∈[].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.23232x2x4π3π，,2cos2sin23sin2cos23cos)1(xxxxxba解xxxxxxxxxxxxcos],4π,3π[|,cos|22cos22)2sin23(sin2cos23cos2sin23sin2cos23cos22）（|ba|)-,(ba＞0∴|a+b|=2cosx.(2)由(1)可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[]，∴≤cosx≤1，∴当cosx=时，f(x)取得最小值为-；当cosx=1时，f(x)取得最大值为-1.2123214π,3π212324、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)已知△ABC的面积S满足3≤S≤33且BCABBCAB与,6的夹角为，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求22cos3cossin2sin)(xf的最小值。解（Ⅰ）由题意知6cos||||BCABBCABcos6||||BCAB11||||sin()||||sin2216sin3tan2cosSABBCABBC…333S3tan133tan33即BCAB与是的夹角],0[]3,4[（Ⅱ）22()sin2sincos2cosf21sin22cos22sin2cos222(2)4]3,4[]1211,43[42a)(3121142f时即当当有最小值。)(f的最小值是233反馈练习：1.判断下列命题是否正确：（1）（3）（5）若，则对于任一非零有（4）（2）||||||baba（6）若，则至少有一个为（7）对于任意向量都有）（）（cbacba（8）是两个单位向量，则（9）若，则影为上的投在则　的夹角的取值范围是与则若＝则且（则的单位向量是夹角为)()-(,)4,1-(),-2,1(5.0,4.,)(,)1,1(),1,0(3.)e3-e(2)e-e2,120,.2122121bababababaaabbaee的取值范围是则的夹角为钝角，与mbamba),,1(),2,1(.6-67.(1,2)180||35babb若平面向量与向量的夹角是，且，则等于(A)(-3,6)(B)(3,-6)(C)(6,-3)(D)(-6,3)18.||10,||12(3)()365ababab已知且，则与的夹角是9.90,1,RtABCAABABBC在中，则10.(6,1)(1,3),(3,1),ABCABBC已知点，则向量在向量方向上的投影为()A-1