必修二立体几何经典证明题

B1CBADC1A1必修二立体几何经典证明试题1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1.【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥1CC,BC⊥AC，1CCACC,∴BC面11ACCA,又∵1DC面11ACCA，∴1DCBC,由题设知01145ADCADC,∴1CDC=090,即1DCDC,又∵DCBCC,∴1DC⊥面BDC,∵1DC面1BDC，∴面BDC⊥面1BDC；（Ⅱ）设棱锥1BDACC的体积为1V，AC=1，由题意得，1V=1121132=12，由三棱柱111ABCABC的体积V=1，∴11():VVV=1:1，∴平面1BDC分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，//ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是CD上的点且12DFAB，PH为△PAD中AD边上的高.（1）证明：PH平面ABCD；（2）若1PH，2AD，1FC，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB.【解析】（1）证明：因为AB平面PAD，所以PHAB。因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PHAD。因为ABADA，所以PH平面ABCD。（2）连结BH，取BH中点G，连结EG。因为E是PB的中点，所以//EGPH。因为PH平面ABCD所以EG平面ABCD。则1122EGPH，111332EBCFBCFVSEGFCADEG212。（3）证明：取PA中点M，连结MD，ME。因为E是PB的中点，所以1//2MEAB。因为1//2DFAB，所以//MEDF，所以四边形MEDF是平行四边形，所以//EFMD。因为PDAD，所以MDPA。因为AB平面PAD，所以MDAB。因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB。3.如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；（2）直线1//AF平面ADE．【答案】证明：（1）∵111ABCABC是直三棱柱，∴1CC平面ABC。又∵AD平面ABC，∴1CCAD。又∵1ADDECCDE，，平面111BCCBCCDEE，，∴AD平面11BCCB。又∵AD平面ADE，∴平面ADE平面11BCCB。（2）∵1111ABAC，F为11BC的中点，∴111AFBC。又∵1CC平面111ABC，且1AF平面111ABC，∴11CCAF。又∵111CCBC，平面11BCCB，1111CCBCC，∴1AF平面111ABC。由（1）知，AD平面11BCCB，∴1AF∥AD。又∵AD平面1,ADEAF平面ADE，∴直线1//AF平面ADE4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F1分又E是PC的中点，所以，EF∥AP2分∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD（3）取AD中点为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD的体积1233VPOABADABDCPMFGEDACBEFHABDCFE5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，//PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且2ADPDMA.（I）求证：平面EFG平面PDC；（II）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.【解析】（I）证明：由已知MA平面ABCD，PD∥MA，所以PD∈平面ABCD又BC∈平面ABCD，因为四边形ABCD为正方形，所以PD⊥BC又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC在△PBC中，因为G平分为PC的中点，所以GF∥BC因此GF⊥平面PDC又GF∈平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，ABCD所以Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD，PD=8/3由于DA⊥面MAB的距离所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以Vp-MAB：Ｖp-ABCD=1:4。6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=2,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=12AG=1所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；图5DGBFCAE图4GEFABCD(1),1//,21//,2////ACBDGGACEGGHHBCGHABEFABEFGHEGFHEGEDBFHEDB证：设与交于点，则为的中点，连，由于为的中点，故又四边形为平行四边形，而平面，平面0,.,..//,,90,.FBBFGFHFHBFFGHBCFHBCFHABCDFHACFHEGACEGACBDEGBDGACEDBFBBFCBFCDEFBFBDEFBCA（）证：由四边形ABCD为正方形，有ABBC。又EF//AB，EFBC。而EF，EF平面EFAB又为的中点，。平面又，又，平面（Ⅲ）解：EF平面为四面体的高，又2,2111**1*2*2.323BDEFBBFFCVBF8.如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1AFD平面11BBCC.9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,,DE分别是,ABAC边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中22BC.(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当23AD时,求三棱锥FDEG的体积FDEGV.答案】(1)在等边三角形ABC中,ADAEADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立,//DEBC,DE平面BCF,BC平面BCF,//DE平面BCF;(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AFBC①,12BFCF.在三棱锥ABCF中,22BC,222BCBFCFCFBF②BFCFFCFABF平面;(3)由(1)可知//GECF,结合(2)可得GEDFG平面.11111131332323323324FDEGEDFGVVDGFGGF10.如图,在四棱锥PABCD中,//ABCD,ABAD,2CDAB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.11.（2013年山东卷）如图,四棱锥PABCD中,,ABACABPA,,2ABCDABCD∥,,,,,EFGMN分别为,,,,PBABBCPDPC的中点(Ⅰ)求证:CEPAD∥平面;(Ⅱ)求证:EFGEMN平面平面