6第六次课-矩阵的秩+线性方程组的高斯消元法

2020/3/21逆矩阵的求解复习公式法：1*1||AAAAE初等行变换E1A初等变换求逆：初等变换初等变换化（规范）阶梯形矩阵“行左列右”第六次课§2.6矩阵的秩理解矩阵秩的概念并掌握其求法教学内容教学目标及基本要求矩阵秩的概念及其求法重点附加：线性方程组的高斯消元法掌握线性方程组的高斯消元法的相关结论线性方程组的高斯消元法的相关结论2020/3/23§2.6矩阵的秩一、矩阵秩的概念1、def：设A是一个mn矩阵，在这个矩阵中任选r行，r列，在这r行与r列的交叉位置上的2r个数按照原来的前后次序构成的一个r阶行列式称为原矩阵的一个r阶子行列式（简称A的一个r阶子式）。若矩阵A中存在一个值不为零的r阶子式，而任一个1r阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r，记作RAr。(P60定义2.6.1-2.6.2)Rankofamatrix2020/3/24例111023021100002100000阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数2020/3/25零矩阵的秩为零；：()()TRARA：nnA可逆()RAn；：()min(,)RAmn：简单结论2020/3/26二、初等变换求秩1、定理1：初等变换不改变矩阵的秩。ijmnAa初等变换化阶梯形矩阵mnBRARB=非零行的行数2、def：:ijmnAa当RAm时，称A为行满秩矩阵；当RAn时，称A为列满秩矩阵；若A为n阶方阵，且RAn，则称A为满秩矩阵2020/3/27例112102242662102333334A设矩阵求R(A)，并求它的一个非零的最高阶子式。2020/3/28附加：线性方程组的高斯消元法一、非齐次线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb一一对应11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab增广矩阵A2020/3/292、AXb（非齐次线性方程组的矩阵表示形式）增广矩阵11111100000000rnrrrnrrcccdccddAAb初等行变换化阶梯形矩阵分情况讨论：(1)：当10rd时，即：RARA无解RARAn10rdrn(2)：当，且时，即：有唯一解RARAn10rdrn(3)：当，且时，即：有无穷多解2020/3/210二、齐次线性方程组1、0AX（齐次线性方程组的矩阵表示形式）系数矩阵111100000rnrrrncccccA初等行变换化阶梯形矩阵分情况讨论：(1)：肯定存在零解，即不存在无解的情况RAnrn(2)：当时，即：只有零解RAnrn(3)：当时，即：存在非零解推论：若0AX中方程的个数小于未知量的个数，则必存在非零解。2020/3/211小结初等变换求秩初等变换化阶梯形矩阵mnBRARB=非零行的行数:ijmnAa2020/3/212非齐次线性方程组AX=bRARARARAnRARArn(1)无解(2)有唯一解(3)有无穷多解未知量的个数齐次线性方程组AX=0RAnRArn(1)只有零解(2)存在非零解非不唯，齐不零2020/3/213提前预习§3.1n维向量6668:19(1)P作业§3.2向量组的线性相关性习题2(A)：