13第十三次课-相似矩阵与方阵的对角化+实对称矩阵的对角化

第十三次课了解相似矩阵的概念和性质了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法会求实对称矩阵的相似对角形矩阵教学内容教学目标及基本要求§5.3相似矩阵与方阵的对角化§5.4实对称矩阵的对角化实对称矩阵的相似对角化重点难点矩阵的相似对角化2020年3月2日星期一2§5.3相似矩阵与方阵的对角化一、相似矩阵及其性质1．def：n阶方阵A和B，若存在可逆矩阵P使得1PAPB，称A与B相似，或称A相似于B，记作~AB。可逆矩阵P称为相似变换矩阵。注：相似一定等价，但等价不一定相似(1)：反身性：~AA1EAEA(2)：对称性：(3)：传递性：~~ABBA111()()PBPA~,~~ABBCAC(P143定义5.3.1)2020年3月2日星期一3性质1：~ABAB,RARB性质2：性质3：性质4：性质5：A可逆，~ABB可逆，且11~AB~~,~,mmTTABkAkBABAB（m为正整数）为多项式()ft,~()~()ABfAfB~ABAEBEA与B的特征值相同[推论]~A的主对角元素为A的特征值。2020年3月2日星期一4二、方阵的相似对角化1、def：若方阵A能够与一个对角矩阵相似，称A可对角化。2、定理：AA有n个线性无关的特征向量。(P144定理5.3.3)推论1：nnA有n个互异特征值A可对角化。(P146推论5.3.2)推论2：n阶方阵A可对角化的充要条件是，A的每个特征值所对应的线性无关的特征向量的最大个数等于该特征值的重数。(P148定理5.3.6)2020年3月2日星期一53.方阵A相似对角化的步骤Step1：求0AE的根12,,n作为特征值Step2：对每个i，求对应的0iAEX的非零解（基础解系）作为对应于i的特征向量iStep3：判断能否相似对角化若能，取12,,,nP，则有121nPAP需注意i与的i对应关系2020年3月2日星期一64、若11mmAPPPAP2020年3月2日星期一7例1判断下列矩阵可否对角化：(1)122212221A,(2)110430102A若能，求一可逆矩阵P，使1PAP.2020年3月2日星期一8解122212221AE21501231,5为A的特征值当121时0AEX特征向量为：12111,0012020年3月2日星期一9当35时50AEX特征向量为：3111因有3个线性无关的特征向量A能相似对角化取可逆矩阵123,,P111101011则有1PAP1152020年3月2日星期一10已知矩阵200122,2311AxBy相似,(1)求x与y；(2)求一个可逆矩阵P，使1PAPB；(3)求100A。例2(P146例5.3.1)2020年3月2日星期一11§5.4实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质1、定理1：TARA(P150定理5.4.1)2、定理2：TAA，不同特征值所对应的特征向量必正交。(P151定理5.4.2)3、定理3：设TAA，若是A的r重特征值，则对应于特征值一定有r个线性无关的特征向量。故实对称矩阵一定能相似对角化。(P151定理5.4.3)2020年3月2日星期一12二、实对称矩阵的正交相似对角化1、定理：TAA存在正交矩阵Q，使得-1QAQ或TQAQ。(P151定理5.4.4)2020年3月2日星期一132、实对称矩阵正交相似对角化的步骤Step1：求0AE的根12,,n作为特征值Step2：对每个i，求对应的0iAEX的非零解（基础解系）作为对应于i的特征向量i，并将其正交单位化得i（注：单根只需单位化，重根需正交单位化）Step3：取正交矩阵12,,,nQ，则有12-1TnQAQQAQ2020年3月2日星期一14已知122212221A，求正交矩阵Q，使得TQAQ.例12020年3月2日星期一15解122212221AE21501231,5为A的特征值0AEX特征向量为：12111,001两正交的特征向量：12111,102单位化得：12116211,26026当121时2020年3月2日星期一16当35时50AEX特征向量为：3111取正交矩阵123,,Q11163211126302163则有1QAQ115单位化得：31313132020年3月2日星期一17例2设3阶实对称矩阵A的特征值为120,1(二重)，A的属于1的特征向量为10,1,1T，求A.(P154例5.4.2)2020年3月2日星期一18小结相似矩阵AB1PAPB相似矩阵的性质~ABAB,RARBAEBEA与B的特征值相同方阵A相似对角化的步骤2020年3月2日星期一19实对称矩阵的性质实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必正交。实对称矩阵正交相似对角化的步骤2020年3月2日星期一20提前预习作业习题5(A)：155:6710P、、§6.1二次型及其标准形§6.2用配方法化二次型为标准形156:23P、习题5(B)：