1-1行列式定义性质与计算

《线性代数》下页结束返回线性代数下页任课教师：梁颖部门：信息学院办公室：文理大楼720室电话：[phone]E-mail：[e-mail]《线性代数》下页结束返回乔布斯说：对一千件事情说不。“我对做过的事情感到自豪，但对决定不做的事情同样感到自豪。”15岁觉得游泳难，放弃游泳，到18岁遇到一个你喜欢的人约你去游泳，你只好说“我不会耶”。18岁觉得英文难，放弃英文，28岁出现一个很棒但要会英文的工作，你只好说“我不会耶”。人生前期越嫌麻烦，越懒得学，后来就越可能错过让你动心的人和事，错过新风景。~~~~~【康永，给残酷社会的善意短信】《线性代数》下页结束返回学习是一个渐进和螺旋式上升的过程《线性代数》下页结束返回一、研究对象二、核心方法下页以行列式、矩阵为工具，以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结构、线性变换的形式.《线性代数》研究对象与逻辑结构概述通过初等变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解.主要流程为：方程组行最简形矩阵方程组的解初等行变换矩阵《线性代数》下页结束返回三、逻辑结构下页方程组有解？是唯一解？无解，停求唯一解，停求通解，停YNYN例1．,0043214321xxxxxxxx,10021321321xxxxxxxx显然，此方程组无解.例2．显然，此方程组有无穷多解.例4．此方程组如何求解？例3．,132121xxxx显然，此方程组有唯一解.a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2am1x1am2x2amnxnbm，《线性代数》下页结束返回下页附：关于作业和作业纸问题1．统一要求使用专用的作业纸；作业纸不足者，可联合购买使用，由课代表负责办理；2．作业由课代表同学收齐后，于下周周一课前交给任课老师，并注意以下问题：①作业首页上写清楚个人的学号；②课代表同学负责：⑴将每个同学的作业的左上角用订书机订好（建议用班费为课代表配订书机，也可同一专业合买一个订书机）；⑵将收齐后的作业按从小到大的学号顺序排序.四、基本要求理解内在逻辑，掌握运算技能；记录分析思路，及时完成作业.《线性代数》下页结束返回2行列式的性质与计算下页1行列式的概念第1章行列式3克莱姆法则2.1行列式的性质2.2行列式按行（列）展开法则《线性代数》下页结束返回本章要求1．理解行列式的概念，掌握行列式的性质；2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式；3．会用克莱姆法则解低阶线性方程组.本章重点计算行列式下页第1章行列式《线性代数》下页结束返回第1章行列式1.1二三阶行列式考虑用消元法解二元一次方程组(a11a22a12a21)x2a11b2b1a2122221211212111bxaxabxaxa，(a11a22a12a21)x1b1a22a12b2第1节行列式的概念用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得同理，消去x1得021122211aaaa当时，方程组的解为211222112121221aaaababax112211211221221,ababxaaaa下页二阶行列式《线性代数》下页结束返回021122211aaaa当时，方程组的解为211222112121221aaaababax112211211221221,ababxaaaa为便于叙述和记忆，引入符号11122122aaaa21122211aaaaD=D1=112222baba212122baba称D为二阶行列式.按照二阶行列式定义可得D2=111212abab121211baba于是，当D≠0时，方程组的解为.,2211DDxDDx下页《线性代数》下页结束返回j=1，2，3111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb0jjDDxD，，333231232221131211aaaaaaaaaD类似引入符号其中D1,D2,D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.下页三阶行列式求解三元方程组称D为三阶行列式.112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa当《线性代数》下页结束返回21543是一个5级排列.如，3421是4级排列；例1．写出所有的3级排列.解：所有的3级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2排列定义1n个自然数1,2,…,n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1i2…in.显然，n级排列共有n!个.其中，排列12…n称为自然排列.下页《线性代数》下页结束返回3421逆序数的计算方法(向前看法)4321从而得τ(3421)5.5逆序及逆序数定义2在一个n级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2in).下页《线性代数》下页结束返回奇排列与偶排列逆序及逆序数逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.如3421是奇排列，1234是偶排列，因为τ(3421)5.因为τ(1234)0.下页定义2在一个n级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2in).《线性代数》下页结束返回•在一个级排列中，仅将其中两个数字对调而其余数字不动，这样一次对调称为一个对换.若将排列中两个相邻的数字对换，则称为相邻对换，简称邻换.•定理1对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.《线性代数》下页结束返回定义4符号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式，它表示代数和其中和式中的排列j1j2jn要取遍所有n级排列.元素aij列标行标1.3n阶行列式nnjnjjjjjaaa...)1(212121)...(下页n阶行列式定义2、3阶行列式的定义《线性代数》下页结束返回a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………(1)n阶行列式共有n!项.之前的符号是(2)在行列式中,项nnjjjaaa2121n个元素的乘积.是取自不同行不同列的行列式有时简记为|aij|.一阶行列式|a|就是a.=说明：nnjnjjjjjaaa...)1(212121)...(下页(3)项nnjjjaaa212112(...)(1)njjj《线性代数》下页结束返回在乘积a14a23a31a44a14a23a31a44a14a23a31a42a14a23a31a42例如，四阶行列式a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44(1)τ(4312)a14a23a31a42为行列式中的一项.表示的代数和中有4!24项.a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为4312所以它不是行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，下页(为奇排列)，《线性代数》下页结束返回a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………=nnjnjjjjjaaa...)1(212121)...(下页a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………=1212(...)12(1)...nniiiiiinaaa定义4’《线性代数》下页结束返回11122122aaaa2112)21(2211)12()1()1(aaaaD=行列式计算解：根据行列式定义21122211aaaa2112122110)1()1(aaaa例1．计算2阶行列式D=11122122aaaa注：3阶行列式的计算类似，略.下页《线性代数》下页结束返回例2．计算n阶下三角形行列式D的值其中aii0(i1,2,,n).Da11a21a31…an10a22a32…an200a33…an3000…ann……………解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D(1)τ(12n)a11a22a33ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n行只能取ann.，这样不为零的乘积项只有a11a22a33ann，所以a11a22a33ann.下页《线性代数》下页结束返回下三角行列式的值：a11a21a31…an10a22a32…an200a33…an3000…ann……………a11a22a33ann.上三角行列式的值：a1100…0a12a220…0a13a14a33…0a1na2na3n…ann……………a11a22a33ann.对角形行列式的值：a1100…00a220…000a33…0000…ann……………a11a22a33ann.结论：下页《线性代数》下页结束返回例3．计算n阶行列式D的值：D00…0bn………bn-1*00…**b1*…**0b2…**解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D(1)τ(nn-121)b1b2b3bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第n行只能取bn.，这样不为零的乘积项只有b1b2b3bn，所以取bn-1，nnnbbb212)1()1(下页《线性代数》下页结束返回将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT(Transpose)或D.即如果2.1行列式的性质a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………D，a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann…………DT则.第2节行列式的性质与计算显然，(DT)T=D.下页行列式的转置《线性代数》下页结束返回a11…kai1…an1a12…kai2…an2an…kain…ann……………k.a11…ai1…an1a12…ai2…an2a1n…ain…ann……………性质1行列式与它的转置行列式相等，即DDT.性质2互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.推论如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.下页证设《线性代数》下页结束返回性质3用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即a11…kai1…an1a12…kai2…an2a1n…kain…ann……………k.a11…ai1…an1a12…ai2…an2a1n…ain…ann……………性质1行列式与它的转置行列式相等，即DDT.推论1如果行列式的某一行(列)的元素全为零，则D＝0.性质2互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.推论如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.推论2如果D中有两行(列)对应元素成比例，则D=0.下页《线性代数》下页结束返回性质4若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11…ai1bi1…an1a12…ai2bi2…an2a1n…ainbin…ann……………a11…ai1…an1a12…ai2…an2a1n…ain…ann……………性质5将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11…ai1…an1a12…ai2…an2a1n…ain…ann……………a11…ai1kaj1…an1a12…ai2kaj2…an2a1n…ainkajn…ann…………….a11…bi1…an1a1