专题二：数列问题的题型和方法

专题二：数列问题的题型和方法1/17专题二：数列问题的题型与方法（3课时）一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式.二、考试要求1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.三、复习目标1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项公式和前n项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．四、双基透视1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于2n的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数.(2)通项公式法：①若dknadnaakn)()1(1，则na为等差数列；②若knknnqaqaa11，则na为等比数列.(3)中项公式法：验证212nnnaaa,(221nnnaaa)都成立.3.在等差数列na中,有关mS的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当01a,0d时，满足001mmaa的项数m使得mS取最大值.(2)当01a,0d时，满足001mmaa的项数m使得mS取最小值.专题二：数列问题的题型和方法2/17在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.五、注意事项1．证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa或11nnnnaaaa而得.2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.3．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解.4．注意一些特殊数列的求和方法.5．注意ns与na之间关系的转化。如：2,1,11nSSnSannn，nkkknaaaa211)(．6．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以下难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.六、范例分析例1．已知数列na是公差0d的等差数列，其前n项和为nS．(1)求证：点)1,1(11SP，)2,2(22SP，┅，),(nSnPnn在同一直线1l上；(2)过点),1(11aQ，),2(22aQ作直线2l，设1l与2l的夹角为，求证：42tan证明：(1)因为等差数列na的公差0d，所以2)1(1dkkkaSk，dkakSk211.当)(2Zkk时，dkadkakSkSk211)21(11111（d是常数），即直线kpp1的斜率是常数（nk,,3,2），所以2p，3p，┅，np都在过点),1(1ap且斜率为常数2d的直线1l上.(2)直线2l的方程为)1(1xday，直线2l的斜率为d．专题二：数列问题的题型和方法3/1742||||221||||212|||212|tan2dddddddddd.当且仅||||2dd当，即2||d时等号成立.例2．已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和.分析：由于nb和nc中的项都和na中的项有关，na中又有241nnaS，可由S2n-S1n作切入点探索解题的途径．解：(1)由241nnaS，2412nnaS，两式相减，得)(4112nnnnaaSS，即nnnaaa4412．(根据bn的构造，如何把该式表示成1nb与nb的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练))2(22112nnnnaaaa，又nnnaab21，所以nnbb21①已知2412aS，11a，112124aaaa，解得52a，32121aab②由①和②得，数列nb是首项为3，公比为2的等比数列，故123nnb．（2）因为)(2Nnacnnn，所以11111122222nnnnnnnnnnnbaaaacc4322311nn.又21211ac，故数列nc是首项为21，公差为43的等差数列，4143ncn.（3）因为nnnac2，又4143ncn，所以41432nann，22)13(nnna.当2n时，2)43(22411naSnnn；当1n时，111aS也适合上式．综上可知，所求的求和公式为2)43(21nSnn．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项公式与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式.2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例3．已知数列na是首项11a，1q且0q的等比数列，设数列nb的通项21nnnkaab)(Nn，数列na、nb的前n项和分别为nS，nT．如果nnkST对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻nT和nS的关系入手谋求解题思路.专题二：数列问题的题型和方法4/17解：因为na是首项01a，公比1q且0q的等比数列，故qaann1，22qaann．所以)(221qkqakaabnnnn．)())((222121qkqSqkqaaabbbTnnnn．依题意，由nnkST，得nnkSqkqS)(2，①对一切自然数n都成立．当0q时，由01a，知0na，所以0nS；当01q时，因为01a，01q，01nq，所以01)1(1qqaSnn，综合上面两种情况，当1q且0q时，0nS总成立．由①式可得kqkq2②，qqk)1(2，即21212qqqqk。故k的取值范围21k.例4．(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为na万元，旅游业总收入为nb万元.写出na，nb的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?解析：第1年投入800万元，第2年投入)511(800万元，……，第n年投入1)511(800n万元，所以总投入])54(1[4000)511(800)511(8008001nnna，同理：第1年收入400万元，第2年收入)411(400万元，……，第n年收入1)411(400n万元，]1)45[(1600)411(400)411(4004001nnnb，(2)∴0nnab，0])54(1[4000]1)45[(1600nn，化简得，07)45(2)54(5nn，设nx)54(，02752xx，∴52x，1x（舍)，即52)54(n，5n.专题二：数列问题的题型和方法5/17说明：解数学应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答.例5．设实数0a，数列na是首项为a，公比为a的等比数列，记),(||1*NnagabnnnnnbbbS21，求证：当1a时，对任意自然数n都有])1()1(1[)1(||lg12nnnananaaaS.解：nnnnnaaaqaa1111)1()(.||lg)1(|)1(|lg)1(||lg111anaaaaabnnnnnnnnn||lg)1(||lg)1()1(||lg3||lg2||lg11232anaaanaaaaaaSnnnnn||lg])1()1()1(32[11232anaanaaannnn记nnnnnaanaaaS11232)1()1()1(32①1121332)1()1()1()2()1(2nnnnnnnaananaaas②①+②得1121232)1()1()1()1(nnnnnnnaaaaaasa③1111(1)1,(1)(1)1(1)nnnnaaaaSnaa])1()1(1[)1(||lg)1(])1)(1(1[)1()1()1()1()1()1()1(122121121111nnnnnnnnnnnananaaaSaananaaananaSaanaaaS说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定nnnbaC，}{na是等差数列，}{nb等比数列.例题6,设nS是等差数列na的前项n和，已知331S与441S的等比中项为551S，331S与441S的等差中项为1，求等差数列na的通项na.解法一：设等差数列na的首项aa1，公差为d，则其通项为dnaan)1(1，前项n和为dnnnaSn2)1(1，以题意，得24131)51(4131432543SSSSS，根据等比数列的定义知05S，由此可得专题二：数列问题的题型和方法6/172)2344(41)2233(31)2455(251)2344(41)2233(312dadadadada，整理得：22520532dadad01da或5124da由此得1na