2.6-矩阵的秩

第2.6节矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的不等式（略讲）主要内容:.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA.,,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm一、矩阵秩的概念矩阵的秩2010()..定义设在矩阵中至少有一个不等于的阶子且所有阶子式（如果存在的话）全等于那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩记作并规定零矩阵的秩等于零式，，，ArDrDArARA.)(1.子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm，对于TA.2).()(ARART显有.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm),min()(.3nmARnm.)(.4为可逆矩阵AnARn注:例1.174532321的秩求矩阵A解:中，在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(AR例2.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR.,梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵nmA问题：经过初等变换后矩阵的秩变吗？.,~1BRARBA则若定理二、矩阵秩的求法).()(),()(,,,,2ARPAQRARAQRARPARnmQPnmA则矩阵阶可逆阶和分别是矩阵是一个设定理初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例3的秩．求矩阵设AA,41461351021632305023阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对A解41461351021632305023A0502335102163234146141rr41461351021632305023A050233510211340414614241rrrr128121601179120113404146141461351021632305023A4241rrrr141332rrrr8400084000113404146100000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR233rr244rr34rr例44321,6063324208421221bA设.)(的秩及矩阵求矩阵bABA解),~,~(~bABB的行阶梯形矩阵为设分析：的行阶梯形矩阵，就是则AA~).()()~,~(~BRARbAB及中可同时看出故从46063332422084211221B13600512000240011221131222rrrr143rr10000500000120011221000001000001200112212322rrr243rr53r34rr.3)(,2)(BRAR三、矩阵秩的不等式（略讲）定理：两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩，）（），（）（即BrArABrmin0sylresterABmnnkrABrArBnABrArBn（公式）：设，分别为和矩阵，则（）（）（），特别地，若，则（）（）定理nAIrArAAn）（）（，证明阶幂等阵，即例：设为2nAIrArAIAAA）（）（由定理，有）（，有证：由02nAIrArAIrArAIArIrn）（）（）（）（））（（）（又由定理，有rABrArB（）（）（）ABmn：设，分别为定理矩阵，则四、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题在秩为的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式?举例说明.rr-1r解：100,()2,010ArA由后两列所组成2阶子式0001021a由所组成1阶子式00