4-2方阵的相似对角化4-3正交矩阵

《线性代数》下页结束返回第2节相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵及其性质二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页《线性代数》下页结束返回2.1相似矩阵及其性质定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.例如，5-131A=0-240B=，，1-511P=，因为1-511-11-5-116=-—P-1AP5-1311-5112-2-20-416=-—012-240=-—160-240=，所以A~B.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性：A~A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~C，则A~C下页《线性代数》下页结束返回定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明：因为P-1AP=B，A与B有相同的特征多项式，|lE-B|=|P-1(lE)P-P-1AP|=|lE-P-1AP|=|P-1(lE-A)P|=|P-1||lE-A||P|=|lE-A|，所以它们有相同的特征值.下页定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.《线性代数》下页结束返回相似矩阵还具有下述性质：A~B=P-1AP=B(1)相似矩阵有相同的秩；r(A)=r(B)(2)相似矩阵有相同的特征值；|lE-A|=|lE-B|(3)相似矩阵的行列式相等；|A|=|B|(4)相似矩阵的迹相等；tr(A)=tr(B)(5)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.下页定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.(P-1AP)-1=B-1即：P-1A-1P=B-1《线性代数》下页结束返回解：由于A和B相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|＝12.下页223112,34AByx==例1.若矩阵相似，求x，y.2214,223146xxy=-=-17.12xy=-=-解得110220003D-=例2.设3阶方阵A相似于,求|A|.《线性代数》下页结束返回定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.必要性.设存在可逆矩阵P=(x1,x2,,xn)使P-1AP=L，即：AP=PL则有可得Axi=lixi(i=1,2,,n).因为P可逆，所以x1,x2,,xn都是非零向量，因而都是A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.l1000l2000lnA(x1,x2,,xn)=(x1,x2,,xn)，证明：=(l1x1,l2x2,,lnxn)2.2n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax1,Ax2,,Axn)《线性代数》下页结束返回充分性.设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有Axi=lixi(i=1,2,,n).令P=(x1,x2,,xn)，则=(l1x1,l2x2,,lnxn)=A(x1,x2,,xn)=(Ax1,Ax2,,Axn)AP=(x1,x2,,xn)l1000l2000ln=PL.因为x1,x2,,xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得P-1AP=L，即矩阵A与对角矩阵L相似.下页注意：矩阵P的构造！《线性代数》下页结束返回例如，矩阵A=有两个不同的特征值l1=4，l2=-2,5-131其对应特征向量分别为x1=，x2=.11-51取P=(x1,x2)=，则1-511所以A与对角矩阵相似.P-1AP-11-5-116=-—5-1311-5110-240=，问题：若取P=(x2,x1)，问L=？20.04-L=下页《线性代数》下页结束返回推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则A与对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似.注意：A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件.且有Ax1=-2x1，Ax2=x2，Ax3=x3，向量组是A的线性无关的特征向量.所以当P=(x1,x2,x3)时，有例如，A=，x1=，x2=，x3=，4-3-36-6-5010-111-201010P-1AP=diag(-2,1,1).下页《线性代数》下页结束返回A=163-3-6-5343(1)解：(1)矩阵A的特征方程为l-1-6-336l5-3l-4-3=|lE-A|矩阵A的特征值为l1=l2=-2,l3=4，对于特征值l3=4，解线性方程组(4E-A)X=o，得其基础解系x3=.112对于特征值l1=l2=-2,解线性方程组(-2E-A)X=o，110-101得其基础解系x1=,x2=.=(l2)2(l-4)=0，(2)-11-4B=103020下页例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似,求可逆矩阵P，使P-1AP=L.《线性代数》下页结束返回由于A有3个线性无关的特征向量x1，x2，x3，所以A相似于对角阵L.所求的相似变换矩阵为P=(x1，x2，x3)=,101-110121对角阵为L=,-20000-2040满足P-1AP=L.下页A=163-3-6-5343(1)(2)-11-4B=103020例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似,求可逆矩阵P，使P-1AP=L.《线性代数》下页结束返回l1-14-10l-30l-20=|lE-B|=(l-2)(l-1)2=0，矩阵B的特征值为l1=l2=1,l3=2.对于特征值l1=l2=1,解线性方程组(E-B)X=o，得其基础解系x1=，12-1对于特征值l3=2，解线性方程组(2E-B)X=o，得其基础解系x2=.001显然,B不能相似于对角阵.下页A=163-3-6-5343(1)(2)-11-4B=103020解：(2)矩阵B的特征方程为例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似,求可逆矩阵P，使P-1AP=L.《线性代数》下页结束返回解：由A和B相似可知，它们的迹、行列式都相等，即l1=l2=2,l3=6.对于特征值l1=l2=2,解线性方程组(2E-A)X=o，-110101得其基础解系x1=,x2=.对于特征值l3=6，解线性方程组(6E-A)X=o，得其基础解系x3=，1-23由于A和B相似，且B是一个所以111102.013P-=-下页11124233Ax-=---200,020,00By=例4.设矩阵A,B相似，其中①求x,y的值；②求可逆矩阵P，使P-1AP=B.54,664xyxy=-=解得5.6xy==对角阵，可得A的特征值为《线性代数》下页结束返回解：由所给条件知矩阵A的特征值为l1=1,l2=0,l3=-1,a1,a2,a3是A对应于上述特征值的特征向量.易知a1,a2,a3是3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，所以A相似于对角阵L＝diag(1,0,-1).取P＝(a1,a2,a3)，则有P-1AP=L，所以A=PLP-11112012001100000001112012001----=--=116002001A5=PL5P-1=PLP-1=A.下页例5.设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中a1=(1,2,2)T,a2=(0,-1,1)T,a3=(0,0,1)T,求A和A5.《线性代数》下页结束返回作业：128页5下页《线性代数》下页结束返回推导l1000l2000ln(x1,x2,,xn)=(l1x1,l2x2,,lnxn)111212122212.....................nnnnnnxxxxxxxxx=l1000l2000ln返回=111lx121lx11lxn212lx222lx22lxnnnlx1nnlx2nnnlx《线性代数》下页结束返回一、向量的正交（复习）二、向量组的正交化标准化下页第3节正交矩阵三、正交矩阵《线性代数》下页结束返回正交向量组(复习)下页定义设向量a，b都为n维为向量，若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直).定义如果m个非零向量组a1，a2，，am两两正交，即(ai,aj)=0(ij),则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为标准正交向量组.《线性代数》下页结束返回证明:(反证)设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数k2，，km，使a1＝k2a2kmam，于是(a1,a1)=(a1,k2a2kmam)=(a1,k2a2)+(a1,kmam)=k2(a1,a2)+km(a1,am)=0,这与(a1,a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.定理1正交向量组是线性无关的向量组.下页3.1向量组的正交化标准化《线性代数》下页结束返回定理2对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.下页施密特正交化方法11ba=2122111(,)(,)abbabbb=-313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbbbbb=--121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmabababbabbbbbbbbb----=----a3a1a22bc3c31c323b1bc2《线性代数》下页结束返回例3．已知向量组a1=(1,1,1,1)T,a2=(3,3,-1,-1)T,a3=(-2,0,6,8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化.解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令b1=a1=(1,1,1,1)T=(3,3,-1,-1)T=(2,2,-2,-2)T=(-1,1,-1,1)T=(-2,0,6,8)T412-(1,1,1,1)T1632--(2,2,-2,-2)T2122111abbabbb=-（，）（，）313233111222ababbabbbbbb=--（，）（，）（，）（，）(1,1,1,1)T44-此时b1,b2,b3为正交组.下页《线性代数》下页结束返回1111||||2Tbb==（1,1,1,1）2221||||2Tbb==（1,1,-1,-1）333||||12Tbb==（-1,1,-1,1）(2)再将正交化后的向量组标准化，即令此时1,2,3即为所求标准正交组.说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.下页《线性代数》下页结束返回例如，单位矩阵E为正交矩阵.--=cossinsincoscossinsincosQQT10.01E==定义6如果n阶实矩阵A满足ATA=E或AAT＝E，则称A为正交矩阵.下页3.2正交矩阵cossinsincosQ-=再如，矩阵也为正交矩阵.正交矩阵的概念《线性代数》下页结束返回1．A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT；2.正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；3.两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；4.正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1；5.A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.下页正交矩阵的性质《线性代数》下页结束返回性