考古年代测定的实际数学模型

考古年代测定的实际数学模型李建军(150142009026)李苏蒙(150142009029)李祥杰(150142009030)李永波(150142009034)刘洋洋(150142009039)（中国海洋大学数学科学学院数学与应用数学专业2009级1班，青岛•266100）[摘要]：摘要：宇宙射线从太空不断轰击大气层，这种轰击会使大气层中部分普通的碳原子形成放射性碳原子。当植物活着的时候，由于不断地进行光合作用，二氧化碳（包括碳12和碳14）不断地进入植物体内，植物被动物吃掉，碳14又进入动物体内。因此动植物体内的碳14的含量是不断变化的。但是，一旦植物或动物死亡了，植物不再吸收大气中的二氧化碳，动物也不再吃植物了。于是，动植物在死亡以后的年代里，因碳14是放射性同位素，仍在继续不断地进行衰变，因此死亡动植物体内的碳14的含量在一天天地减少。碳14的量是可以通过测量其放射性确定下来的。碳14的半衰期为5730年，即经过5730年以后，碳14的量只剩下一半。放射性碳测定年代法是最常用的考古方法，它所能断定的年份最久的达50000年。ApracticalmathmodelforarchaeologicaldatingLIsu-mengLIxiang-jieLIyong-boLIUyang-yangLIjian-jun[Abstract]:Cosmicraysconstantlybombardtheatmospherefromspace,thisbombardmentwillmakethethecommoncarbonatomsformatmospherepartbecomeradioactivecarbonatoms.Whentheplantswerealive,becauseofthecontinuingphotosynthesis,carbondioxide(includingcarbon12andcarbon-14)continuedaccesstoplants,plantswereeatenbyanimals,andthencarbon14enteredanimalbody.Therefore,animal’sandplant’scarbon-14contentinthebodyisconstantlychanging.However,oncetheplantoranimaldied,theplantwillnotabsorbatmosphericcarbondioxideanymore,theanimalscouldnoteatplants.Thus,plantsandanimalsinthelateryearsofdeathduetocarbon-14isaradioactiveisotopetodecayisstillcontinuing,sodeadanimals’andplants’carboncontentof14reduceddaybyday.Theamountofcarbon14isdeterminedbymeasuringtheradioactivity.5730,half-lifeofcarbon-14years,thatafter5730yearslater,theamountofcarbon14lefthalf.Radiocarbondatingofarchaeologicalmethodisthemostcommonlyusedmethod,itcandeterminethelongestyearof50,000years.[关键词]：C14;放射性元素;衰变;半衰期0引言考古学是时间的科学，在整理考古资料研究考古问题时，判断遗址遗物的年代是最基本的一环。年代对于考古学来说，犹如人体的骨架。考古学家根据田野发掘的地层关系，判断古物的相对年代，但无法判定其绝对年代。自从自然科学的断代方法引进考古学，与考古学结合后，史前考古年代学才真正建立在科学的基础上，甚至在一定意义上说，促进了考古学的快速发展。依靠大量的碳十四年代数据，可以建立起新石器时代各地各类文化的年代序列或称考古年代框架。1933年，库利(F.N.D.Kurie)等人发现，N原子核（N14）在快中子轰击下，云雾室中出现了一条又长又细的反冲粒子经迹，后来有人用慢中子轰击N核得到了同样的结果，分析和计算证明，只有带正电荷的质子，才能在云雾室中形成细长的粒子径迹。因此，他们认为，这是快种子与N14相互作用生成C14后放出来的一个多余质子。1940年，科夫(S.A.Korff)发现，宇宙射线在高空大气圈中会产生中子，并首先研究了地球大气圈上形成C14的物理条件。当时，美国芝加哥大学教授利比(W.F.Libby)和科夫刚好研制成功一种探测中子的计数器，他们把它放置在气球上，如实地记录大气圈内各高度层的高能宇宙产生的中子强度。实验结果证明：中子计数率随高度增加，到距离地面15km处，中子强度达到最大值。因此，在大气圈顶部，宇宙射线轰击空气时产生大量快、慢中子，这些中子轰击占空气80%的氮原子核后，同样产生放射性C14。C14与氧结合生成214CO，在与大气中氧气混合后参加自然界碳的交换循环运动。植物通过光合作用与大气中的二氧化碳进行交换，与大气中C14处于平衡状态。动物通过食用植物体内吸入C14；动物通过排泄、死亡，植物腐烂、沉积，进入表层土壤而使C14进入土壤，大气于海面接触，二氧化碳又与海水中溶解的碳酸盐和二氧化碳进行交换，因此，海水、海生物及海底沉积物中都含有C14。由于碳在自然界的交换循环很快，所以，处于与大气相互交换的各种物质在各地的C14水平基本是一致的。这一点呢已由利比富集从阴沟臭水中收集的沼气中的C14，在屏蔽式技术器内做放射性测定得到证实。1949年，利比和阿诺德（J.R.Arnold）通过分析一套已知年龄的考古标本，证明用C14方法测年龄是可行的，利比首先提出了用C14测定古代遗址年龄的方法，并因创立了C14的测定技术而荣获1960年得诺贝尔化学奖。1模型准备然界存在三种碳的同位素，它们的重量比例是12：13：14，分别用碳-12（C12）；碳-18（C18）；碳-14（C14）表示，它们的含量比例是98.9：1.1：10-10。前二者是稳定同位素，只有碳-14有放射性，亦称放射性。碳C14放射β粒子后蜕变为N14，半衰期为5730±40年,反应式为:NC1414C14的半衰期只有五千多年而地球存在已有数十亿年,自然界却存在着保持一定水平的放射性碳元素,为使C14的产生和衰变处于平衡状态,保持一定水平,必然存在着一种源泉。这个来源就在大气高空层,在那里,宇宙射钱中子和大气氮核作用生成C14。发现这一自然现象并用实验加以证实的是C14法创始人利比(W.F.Libby)。他从宇宙射线和人工核反应的研究中得到启发,认为自然界存在生成C14的条件,有可能检测出来.经过仔细考查计算,并在实验中解决了低能量低本底测量上的技术问题,测出了自然C14。由此建立了C14测定年代的方法。最初,外来的宇宙射线与大气作用产生宇宙射线中子。宇宙射线中子和大气中氮核起核反应产生碳-14:HCNOn14141这一反应都在高空完成,新生碳原子在大气环境中不能游离存在很久,一般都与氧结合生成214CO分子，214CO和原来存在于大气中的2CO化学性能是相同的,因此必然与原有2CO混合参加自然界碳的交换循环运动。植物通过光合作用将2CO结合成植物组织,动物依植物为生,这就使生物界都混入了C14.动物通过排泄,死亡,植物通过腐烂,沉积,进入表层土壤而使C14进入土壤,大气与广大海面接触,2CO又与海水中溶解的碳酸盐和2CO进行交换,因此海水、海生物及海底沉积物中都含有C14。所以，凡是和大气中的2CO进行过直接或间接交换的含碳物质都包含C14。这种产生C14的自然现象存在已久，同时C14按5730年半衰期衰变减少，这类碳中C14水平必然会到达平衡值。由于碳在自然界的交换循环相当快，处于与大气互相交换的各种物质在名地的C14水平基本上是一致的。动植物遗存（骨头、植物种子、木头、木炭等）以及其他含碳物质（织品、纸张等），通过挑选、物理化学等处理在真空系统中燃烧生成二氧化碳——经过纯化合成制备成为适合进行测定的样品（笨），通过测量衰变速度或C14的浓度并经统计分析得到年代。2模型假设通过对考古工作的研究，本文做出如下假设：A1）发射性物质由于向外发射射线发生衰变，原子数目会减少.现假设衰变速度与原子数目成正比.A2）考古样品中含有放射性元素14C，且其含量或者当前的衰变速度可测出.A3)假定地球大气层中放射性碳的含量在文物形成到发掘测量之前是恒久不变的，且样品活着活着被制造时其所含放射性碳的形成率与衰变率相等.A4）假定文物被在形成到如今的发掘之前从未受到任何放射性元素的污染.3模型建立建模机理：衰变速度与原子数成正比设N=N(t)为t时刻的原子数则dtdN为单位时间的衰变速度由建模机理则有以下关系成立：dtdN=-λN（λ＞0为衰变系数，与放射性物质有关）（1）N（t0）=N0（2）然后通过C14的衰变与时间的关系，提出一种考古年代测定的实际数学模型4模型求解dtdN=-λN（λ＞0为衰变系数，与放射性物质有关）（1）0)(0NNt（2）分离变量得：dtNdN两边积分得：CdtNdN得：CtNlnCtN00ln其解为N（t）=eNtt)(00C14的半衰期为5730年由半衰期和微分方程的解确定的值即=T2ln解得其衰变系数为0.00012096809433855938由物质的放射性测定年代NNtt00ln57302ln算出物质的年龄由于实践上的不可行性，上公式无法直接应用（N0无从得知）。一般将N0和N转化成衰变速度。即NNdtdN00两式相除得NNNdtdNNdtdN005模型分析本模型给出了放射性物质的衰变原理，并导出了放射性物质的衰变公式。我们可以通过对文物中C14含量的分析由NNtt00ln57302ln算出文物的具体年代。但由于N0与N较难测量，在实践应用中存在较大的不可行性，所以我们一般会引入：NNNdtdNNdtdN00。即应用现在文物中C14的衰变速度与现在木炭样品中C14的衰变速度作比，从而计算文物的具体年代。缺点：模型的建立是在较强条件基础上的，用现在木炭样品中C14的衰变速度模拟远古时代样品中C14的衰变速度可能存在一定的误差。而且要排除在文物保存过程中其它方式性物质的污染干扰。6模型检验NdtdNN“河南龙山文化”主要是指分布于中原地区的考占遗存。因其分布地域较广，其呈现的文化面貌又有所不同，考占界一般将其分为若十不同的类型或称文化。由于诸学者对河南龙山文化的认识不尽相同，所以诸类型或文化的称呼也有所差异。考古界一般对“河南龙山文化”分为五个地区性类型，即土湾类型、后冈类型、土油坊类型、二单桥类型、下土岗类型.在土湾类型或称土湾二期文化中，以脊封土城岗和禹州瓦店两遗址的系列碳十四测年数据最为重要.以下列出登封王城岗遗址安阳后岗、汤阴白营、辉县孟庄等遗址C14测年数据并同树轮校正年代作比较：表一登封王城岗遗址C14测年数据表期别单位样品实验室编号c14年代（BP）（55681950）树轮校正年代（BC）土城岗一期土城岗一期土城岗二期土城岗二期王城岗三期王城岗四期王城岗四期王城岗四期王城岗五期王城岗五期王城岗五期王城岗五期王城岗五期WT130H340WT153H402Wz157奠6WT179奠8WT31H92WT242H536WT92H192WT157H41RWT107H233WT51④WT48奠WT155H413WT196H61下骨头骨头骨头骨头骨头骨头骨头骨头骨头骨头木炭木炭木炭SA98100SA98101SA98102SA98104SA98108SA98117SA9Rll6SA9R120SA9R122ZK-095ZK-095ZK-095ZK-