专题训练(五) 二次函数与一次函数、几何类问题

九年级数学上册(人教版)专题训练(五)二次函数与一次函数、几何类问题一、二次函数与三角形1．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝x2＋bx－2的图象过C点．求抛物线的解析式．解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y＝12x2＋bx－2上，∴1＝12×9＋3b－2，解得b＝－12，∴抛物线的解析式为y＝12x2－12x－22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－12.(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．解：(1)y＝－12(x＋12)2＋258，即y＝－12x2－12x＋3(2)由y＝0得，－12(x＋12)2＋258＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标(0，0)；②BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝32，∴BM＝32，∴M点坐标(32－3，0)；③当MC＝BC时，易知M不在线段AB上．综上可知，符合条件的M点坐标为(0，0)或(32－3，0)二、二次函数与四边形3．如图，抛物线经过点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝12x2－2x－52(2)存在．如图，①当点N在x轴的下方，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN⊥对称轴，∴点C与点N关于对称轴x＝2对称，∵C点的坐标为(0，－52)，∴点N的坐标为(4，－52)；②当点N′在x轴上方时，作N′H⊥x轴于点H，∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC，∵点C的坐标为(0，－52)，∴N′H＝52，即N点的纵坐标为52，∴12x2－2x－52＝52，解得x1＝2＋14，x2＝2－14，∴点N′的坐标为(2－14，52)和(2＋14，52)．综上所述，满足条件的点N共有三个，分别为(4，－52)，(2－14，52)和(2＋14，52)4．(2014·兰州)如图，抛物线y＝－12x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点坐标，如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．解：(1)y＝－12x2＋32x＋2(2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如图1，P1(32，4)，P2(32，52)，P3(32，－52)(3)当y＝0时，－12x2＋32x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，可求直线BC的表达式是y＝－12x＋2.如图2，过点C作CM⊥EF于点M，设E(a，－12a＋2)，则F(a，－12a2＋32a＋2)，∴EF＝－12a2＋32a＋2－(－12a＋2)＝－12a2＋2a(0≤a≤4)，∴S四边形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF＝12×52×2＋12(－12a2＋2a)[a＋(4－a)]＝－a2＋4a＋52＝－(a－2)2＋132(0≤a≤4)，∴当a＝2时，S四边形CDBF的最大值为132，此时E(2，1)三、二次函数与一次函数5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，且A点坐标为(－3，0)，抛物线顶点P的纵坐标为－4，经过B点的一次函数y＝x－1的图象交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围；(3)求△BPD的面积．解：(1)∵一次函数y＝x－1的图象经过B点，∴B点坐标为(1，0)．∵A点坐标为(－3，0)，抛物线顶点P的纵坐标为－4，∴抛物线顶点P的坐标为(－1，－4)，∴a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，a－b＋c＝－4.解方程组得a＝1，b＝2，c＝－3，故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3(2)联立一次函数y＝x－1和抛物线的解析式可得y＝x2＋2x－3，y＝x－1，解得x1＝－2，y1＝－3，x2＝1，y2＝0，则D点坐标为(－2，－3)，由图象可得当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围为－2＜x＜1(3)过点P作PM∥y轴交BD于点M，则当x＝－1时，y＝x－1＝－2，∴M(－1，－2)，则PM＝2，则S△BPD＝S△BPM＋S△MPD＝12×2×[1－(－1)]＋12×2×[(－1)－(－2)]＝36．如图，一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根x1，x2(x1＜x2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A(3，6)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，求P点和G点坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MG＋MA取得最小值时，求点M的坐标．解：(1)解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为C(－3，0)，B(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．∵A(3，6)在抛物线上，∴6＝a(3＋3)·(3－1)，∴a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x－32(2)由y＝12x2＋x－32＝12(x＋1)2－2，∴抛物线顶点P的坐标为(－1，－2)，对称轴为x＝－1.可求直线AC的解析式为y＝x＋3，将x＝－1代入得y＝2，∴G点坐标为(－1，2)(3)作A关于x轴的对称点A′(3，－6)，连接A′G，A′G与x轴交于点M即为所求的点．可求直线A′G的解析式为y＝－2x，令x＝0，则y＝0，∴M点坐标为(0，0)7．(2014·武汉)如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝12x2交于A，B两点．(1)直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C的坐标；(2)当k＝－12时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5.解：(1)直线过定点(－2，4)(2)如图，直线y＝－12x＋3与y轴交于点N(0，3)．联立得y＝－12x＋3，y＝12x2，∴12x2＋12x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝2.在y轴上N点下方取点Q，使S△ABQ＝5，则12×(3－yQ)×[2－(－3)]＝5，∴yQ＝1，∴Q(0，1)．过点Q作PQ∥AB交抛物线于点P，则PQ的解析式为y＝－12x＋1.由y＝－12x＋1，y＝12x2，解得x1＝－2，y1＝2，x2＝1，y2＝12，∴P点的坐标是P1(－2，2)，P2(1，12)