三角恒等变换复习(公开课精华)

基本思想：理解三角函数中的4个“三”：（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍角）.（2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化简、证明.（3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方面思考（4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、逆用、变用.1、两角和与差的三角函数公式：)cos(sinsincoscos)sin(sincoscossin)tan(.tantan1tantan)sin(sincoscossin)cos(sinsincoscos)tan(.tantan1tantan基本公式：xbxacossin22ba22ba.cossin2222确定，由其中baabab2、辅助角公式说明：利用辅助角公式可以将形如的函数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。=sin+cosyab这个公式有什么作用？)cossin(2222xbabxbaa)cossinsin(cosxx.)sin(x22ba3.二倍角公式:2tan1tan22tancossin22sin212sin变形变形（降幂公式）21cos2sin22)cos(sin2sin1变形CC几何法，三角函数线SS2C2S2TTT2C2S2T基本知识框架：基础练习：计算：（公式变，逆用）14cos74sin14sin74cos)1(70sin160cos110cos20sin)2(5.22sin21)3(215cos15sin)4(33tan12tan133tan12tan)5(231224111413)cos(,71cos1为锐角，，：已知例的值求cos典型例题：01413)cos(,71cos又,1433)sin(,734sin9823sin)sin(cos)cos(])cos[(cos注：⑴常用角的变换：①②③④⑤⑵注意对角范围的要求。)()()(2)(222)4()4([借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角用已知角表示．为锐角，解：变式练习：sinsin)cos(2sin)2sin(2：求证例sinsin)cos(2)2sin(sinsin)cos(2])sin[(sinsin)cos(cos)sin(sinsin右边证明：左边sinsin)cos(2sin)2sin([借题发挥]证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目标的有目的化简.左右归一或变更结论，常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法．例3:已知A、B、C是△ABC三内角，向量.1,)sin,(cos,)3,1(nmAAnm；求角）（A1.tan,3sincos2sin1222CBBB求若）（解：,1)1(nm,1)sin,(cos)3,1(AA,1cossin3AA即,1)cos21sin23(2AA.21)6sin(A,0A,6566A,66A.3A即,3sincos2sin1222BBB由）（,2tanB)](tan[tanBAC)tan(BABABAtantan1tantan32132.11358,3sincos)sin(cos222BBBB得,3sincossincosBBBB即,3tan1tan1BB,0cosB[借题发挥]在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：⑴找差异：角、名、形的差异；⑵建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；⑶变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式.（4）常用技巧：①弦化切②化“1”③正切的和、积④角变换⑤“升幂”与“降次”⑥辅助角课堂小结：121sin125sin)1(sin7cos15sin8(4)cos7sin15sin880cos60cos40cos20cos)2(课后巩固：)2232cos21212121)5(（化简的值域为函数xxxfsin22cos)()3(=tantan,51)sin(,53)sin(6则）已知（考题体验：1．（2013·高考课标卷）已知2sin23，则2cos()4（）A.16B.13C.12D.232.(2012·山东理)若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.343．（2013·四川理）设sin2sin,(,)2,则tan2的值是_________.4.（2013·江苏理）已知a(cos,sin)b(cos,sin)＝，，0，设c(0,1)，若abc，求,的值。1、A2、D3、4、3656典型例题：例1：已知,(0,)且11tan(),tan27，求2的值.tan()tan1tan=tan()11tan()tan3(0,)41173,44tan(2)tan134：因为且所以（0，）因为（0，）且tan故（，），所以2又所以2-=-分析考向一：求角问题变式1：（1）已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210，求β的值．1422343025500227210102coscos23=24因为tan=,所以tan=因为，，所以sin=,cos因为，所以，又cos()=,于是sin()=所以由，知，分析：变式1：,=3,sin=2sin(2+)（2）求的值.已知，为锐角，且tan(+)sin2sin(2),sincoscossin2sincoscossinsincos=s3cossintan()3tantan()3,tan10=in2si24n分析：所因为即所以即因为所以又，，故以典型例题：例2、(2013全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.分析：f(x)＝sinx－2cosx＝125sincos55xx，令cos＝15，sin＝25，则f(x)＝5sin(＋x)，当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，sin(＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，即θ＝2kπ＋π2－(k∈Z)，所以cosθ＝πcos2π+2k＝πcos2＝sin＝22555.考向二：求值问题变式2：(2013全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若π1tan42，则sinθ＋cosθ＝__________.分析：由π1tan1tan41tan2，得tanθ＝13，即sinθ＝13cosθ.将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得210cos19.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝31010，sinθ＝1010，sinθ＋cosθ＝105.典型例题：例3、（2013重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝325，2cos()cos()2cos5AB，求tan的值．分析：(1)因为a2＋b2＋2ab＝c2，由余弦定理有cosC＝22222222abcababab，故3π4C.(2)由题意得2(sinsincoscos)(sinsincoscos)cosAABB＝25.因此(tansinA－cosA)(tansinB－cosB)＝25，22tansinsintan(sincoscossin)coscos5ABABABAB考向三：综合应用典型例题22tansinsintansin()coscos5ABABAB①因为3π4C，A＋B＝π4，所以sin(A＋B)＝22，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即325－sinAsinB＝22，解得sinAsinB＝32225210.由①得2tan5tan40解得tan1tan4或.变式3：（2013·辽宁理）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx(1)若ba，求x的值；(2)设函数baxf)(，求)(xf的最大值.分析：(1)由|a|2＝23sinx＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈π0,2，从而sinx＝12，所以π6x.(2)f(x)＝ab＝3sinx·cosx＋sin2x311sin2cos2222xxπ1sin262x，当ππ0,32x时，πsin26x取最大值1.所以f(x)的最大值为32.三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：⑴找差异：角、名、形的差异；⑵建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；⑶变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式.（4）常用技巧：①切化弦；②常值1的代换；③项的分拆；④角的配凑；⑤“升幂”与“降幂”⑥辅助角；等方法总结