2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)

[读教材·填要点]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是规定参数φ的取值范围为(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是.x＝asecφy＝btanφφ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2x＝btanφy＝asecφ2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程为，t∈.(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的．x＝2pt2y＝2pt斜率的倒数[小问题·大思维]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．R2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？3．若抛物线的参数方程表示为x＝2ptan2α，y＝2ptanα.则参数α的几何意义是什么？提示：如果x对应的参数形式是asecφ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是asecφ，则焦点在y轴上．提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．[研一题][例1]在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.[精讲详析]本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．设P的坐标为(secφ，tanφ)，由P到直线x－y＝0的距离为2得|secφ－tanφ|2＝2得|1cosφ－sinφcosφ|＝2，|1－sinφ|＝2|cosφ|平方得1－2sinφ＋sin2φ＝4(1－sin2φ)，即5sin2φ－2sinφ－3＝0.解得sinφ＝1或sinφ＝－35.sinφ＝1时，cosφ＝0(舍去)．sinφ＝－35时，cosφ＝±45.∴P的坐标为(54，－34)或(－54，34)．[悟一法]参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．[通一类]1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a,0)，弦B′B∥Ox，B(asecα，atanα)，则B′(－asecα，atanα)．∵kB′A＝atanα－asecα－a，kBA＝atanαasecα－a，∴kB′A·kBA＝－1.∴以BB′为直径的圆过双曲线的顶点.[研一题][例2]连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析]本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M、P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为x＝2t，y＝2t2，由中点坐标公式得x0＝4t，y0＝4t2，变形为y0＝14x20，即x2＝4y.表示的为抛物线．[悟一法]在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．[通一类]2．已知抛物线C：x＝2t2y＝2t(t为参数)，设O为坐标原点，点M在抛物线C上，且点M的纵坐标为2，求点M到抛物线焦点的距离．解：由x＝2t2y＝2t，得y2＝2x，即抛物线的标准方程为y2＝2x.又∵M点的纵坐标为2，∴M点的横坐标也为2.即M(2,2)．又∵抛物线的准线方程为x＝－12.∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M到抛物线焦点的距离为52.[研一题][例3]如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线x＝4secθ，y＝3tanθ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析]本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x216－y29＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．设椭圆x2a2＋y2b2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.∴方程为x225＋y29＝1.设椭圆上一点P(5cosθ，3sinθ)，双曲线一渐近线为3x－4y＝0，∴点P到直线的距离d＝|3×5cosθ－12sinθ|5＝3|41sinθ－φ|5(tanφ＝54)．∴dmax＝3415.[悟一法]对于同一个方程，确定的参数不同，所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．[通一类]3．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ≤π)和x＝54t2y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为___________．解析：由x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ≤π)得x25＋y2＝1(y≥0)，由x＝54t2y＝t(t∈R)得x＝54y2.联立方程可得x25＋y2＝1，x＝54y2则5y4＋16y2－16＝0，解得y2＝45或y2＝－4(舍去)，则x＝54y2＝1.又y≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化.2012年天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](2012·天津高考)已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt，(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.[命题立意]本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用．[解析]由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p0)，焦点F(p2，0)，准线x＝－p2，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在Rt△EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋p2＝2p，得p＝2.[答案]2点击进入创新演练大冲关