2013届高考数学一轮复习方案 第12讲 函数模型及其应用课件 文 新人教A版

第12讲│函数模型及其应用第12讲函数模型及其应用考纲要求第12讲│考纲要求1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识梳理第12讲│知识梳理1．函数模型常用函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．(2)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)．(3)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b0，b≠1)．(4)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，m≠0，a0，a≠1)．(5)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)．(6)分段函数模型．2．三种函数模型的性质在区间(0，＋∞)上，指数函数y＝ax(a1)，对数函数y＝logax(a1)，幂函数y＝xn(n0)都是增函数，但它们增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y＝xn(n0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a1)的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表示为与x轴趋于平行，因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax.第12讲│知识梳理c3．函数模型的应用(1)解答函数应用题的步骤：①阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义．第12讲│知识梳理②分析建模：分析题目中的量与量之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常量与变量)，有时可借助列表、画图等手段来理顺数量关系，同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型，以确定函数模型的种类，在对已知条件和目标变量的综合分析、归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题．第12讲│知识梳理③数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳解题方案，进行数学上的求解计算．④还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．(2)在实际问题中建立函数模型的算法程序：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第12讲│知识梳理第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解决实际问题．第12讲│知识梳理以上过程可用程序框图表示如图12－1：第12讲│知识梳理图12－1问题思考第12讲│问题思考►问题1正比例函数的增长量是固定不变的．()第12讲│问题思考[答案]对[解析]f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)有这样的特征．第12讲│问题思考►问题2指数函数的模型增长速度越来越快．()第12讲│问题思考[答案]错[解析]只有当底数大于1时，它的图象随自变量的增大逐渐表现为和纵轴平行．第12讲│问题思考►问题3对数模型也是随自变量的增大，函数值缓慢增长．()第12讲│问题思考[答案]错[解析]因为它的增长和底数与1的大小有关．第12讲│问题思考►问题4幂函数的增长相对平稳．()第12讲│问题思考[答案]错[解析]幂函数y＝xn只有当n0时，函数的图象在(0，＋∞)上是单调递增；当n0时，函数图象在(0，＋∞)上单调递减．要点探究►探究点1一次、二次函数模型的应用第12讲│要点探究例1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？第12讲│要点探究[思路](1)平均成本为总成本与年产量的商；(2)利润为总销售额减去总成本，分别将平均成本和利润表示为年产量x(吨)的函数，再应用函数方法求最值．第12讲│要点探究[解答](1)由题意知0＜x≤210，每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．第12讲│要点探究(2)设年总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0x≤210)．∵R(x)在(0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值，为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴当年产量为210吨时，可以获得最大利润，最大利润为1660万元．第12讲│要点探究[点评]在实际问题中优化、面积、利润、产量等问题常与二次函数有关，可建立二次函数模型，常利用配方法借助于对称轴和单调性求最值问题，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．第12讲│要点探究例2某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年，参考数据：1.01210≈1.127，log1.0121.2≈15)．►探究点2指数、对数型函数模型的应用第12讲│要点探究[解答](1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．第12讲│要点探究(2)10年以后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈113(万人)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.2≈15(年)．即大约15年后，该城市人口将达到120万人．第12讲│要点探究[点评]在实际问题中，常常遇到有关增长率和平均增长率(主要是复利的计算、人口的增长、放射性物质的衰变等)的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．解决平均增长率问题，常用到这个公式，在理解的基础上要记住并会使用．►探究点3分段函数模型的应用第12讲│要点探究例3[2011·湖北卷]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：km/h)是车流密度x(单位：辆/km)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/h)第12讲│要点探究[思路](1)根据0≤x20和20≤x≤200时的车流速度v与车流密度x的关系列出函数关系式；(2)利用函数关系式求出最值．第12讲│要点探究[解答](1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x20，13（200－x），20≤x≤200.第12讲│要点探究(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x20，13x200－x，20≤x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋200－x22＝100003.第12讲│要点探究当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/km时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h．第12讲│要点探究[点评]在许多实际问题中，变量之间的关系不能用一个关系式列出，如出租车票价与路程之间的关系，纳税与收入之间的关系等．这种情况下，就需用分段函数来表达．研究这类问题的最值问题可分段研究．要特别注意定义域端点值．►探究点4函数模型选择的应用第12讲│要点探究例4某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①f(x)＝x150＋2；②f(x)＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？第12讲│要点探究[思路]函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，应正确理解题意，选择适当的函数模型．指数函数模型一般与增长率有关．在建立函数关系时，应注意增长速度的意义，增长速度翻番(成倍增长)应考虑指数函数模型；增长速度快，可考虑幂函数模型或二次函数模型；等速增长，则应考虑一次函数模型；增长速度缓慢，可考虑对数函数和幂函数模型．第12讲│要点探究[解答](1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x5恒成立．第12讲│要点探究(2)①对于函数模型f(x)＝x150＋2：当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝1000150＋2＝203＋2＜9.所以f(x)≤9恒成立．因为函数y＝fxx＝1150＋2x在[10,1000]上是减函数，所以fxxmax＝1150＋15＞15.即f(x)≤x5不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．第12讲│要点探究②对于函数模型f(x)＝4lgx－3，当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9.所以f(x)≤9恒成立．设g(x)＝4lgx－3－x5，则g′(x)＝4lgex－15.当x≥10时，g′(x)＝4lgex－15≤2lge－15＝lge2－15＜0，第12讲│要点探究所以g(x)在[10,1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lgx－3－x5＜0，即4lgx－3＜x5，所以f(x)≤x5恒成立．故该函数模型符合公司要求．第12讲│规律总结规律总结1．把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．第12讲│规律总结2．高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵