函数的最大值和最小值

二次函数图象一次函数图象1．函数的最大值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I，使f(x0)＝M.那么称M是函数y＝f(x)的最大值．准确理解函数最大值的概念(1)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．(2)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，注意对②中“存在”一词的理解2．函数的最小值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I，使f(x0)＝M.那么称M是函数y＝f(x)的最小值．函数最大值、最小值的几何意义是什么？【提示】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．利用函数图象求最值如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．1.试求函数y＝|x－2|＋(x＋1)2的最值．【解析】原函数变为y＝|x－2|＋|x＋1|＝－2x＋1(x≤－1)3(－1＜x≤2)2x－1(x＞2)利用单调性求函数的最值求函数y＝x＋2x－1x∈[2,3]上的最值．【思路点拨】定义法判断函数的单调性―→求最值【解析】函数y＝x＋2x－1＝x－1＋3x－1＝1＋3x－1设2≤x1x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝3x1－1－3x2－1＝3(x2－x1)(x1－1)(x2－1)∵2≤x1x2≤3∴x2－x10，x1－10，x2－10∴f(x1)－f(x2)0即f(x1)f(x2)∴函数y＝x＋2x－1在[2,3]上是减函数∴f(x)的最小值为f(3)＝3＋23－1＝52.f(x)的最大值为f(2)＝2＋22－1＝4.(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．当一个函数有多个单调增区间和多个单调减区间时，我们该如何简单有效的求解函数最大值和最小值呢？二次函数最值问题求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的最大值和最小值．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息①所给函数为二次函数；②在区间[－2,2]上求最值．解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调性，再求最值．【解析】f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，其对称轴为x＝3，开口向上，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间[m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利用函数单调性求解．函数解析式为“y＝x2－2x”，求函数的在定义域[2,4)上的最值．（1）掌握函数最大值、最小值的概念。（2）熟悉求最大值、最小值的方法。