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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-3统计案例第三章你坐过火车、乘过飞机吗?晕车、晕机与性别有无关系?肺癌是人类的一大杀手,吸烟与患肺癌的关联性究竟有多大?你了解过你们班同学的身高与体重吗,身高与体重是否线性相关?你统计过你们班同学的考试成绩吗,物理成绩的高低与数学成绩关联度有多大?……这些都是统计学研究的内容.本章我们将要学习独立性检验和回归分析的基本思想、方法.学习本章要注意学习收集、整理、分析数据的方法,体会统计分析的基本思想、建模思想和现代计算技术在统计中的应用,体会统计思维和确定性思维的差异.3.1回归分析的基本思想及其初步应用第三章典例探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案通过典型案例的探究,了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.体会统计方法的特点及应用的广泛性,提高对现代计算技术与统计的应用的认识.重点:线性回归模型及相关概念,用回归分析方法作出推断.难点:对线性回归模型、残差分析、相关性检验的理解和用相关指数检验模型的拟合效果.温故知新请回顾复习在必修3中学过的两个变量的线性相关,回归直线,回归直线方程的求法.回归直线方程思维导航1.给定变量x的值,由回归直线方程y^=b^x+a^求得的值是y的准确值吗?y^的值能大致反映y的值吗?2.线性相关的两个变量都可以求回归直线方程吗?相关的两个变量之间的关系一定是线性关系吗?点的中心.2.回归直线方程为y^=b^x+a^,其中b^=___________________a^=__________,__________称为样本新知导学1.回归分析是处理两个变量之间__________的一种统计方法.若两个变量之间具有线性相关关系,则称相应的回归分析为________________.相关关系线性回归分析∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2y-b^x(x,y)3.线性相关关系强与弱的判断:用____________来描述线性相关关系的强弱.对于变量x、y随机抽取到的n对数据(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn),其相关系数r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2相关系数r=i=1nxiyi-nxyi=1nx2i-nx2i=1ny2i-ny2.当r0时,表明两个变量__________;当r0时,表明两个变量__________.r的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相关性越__________;r的绝对值接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|大于__________时,认为两个变量有很强的线性相关关系.正相关负相关强0.75牛刀小试1.(2015·武汉市重点中学高二期末)在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:①对所求出的回归直线方程作出解释;②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是()A.①②⑤③④B.③②④⑤①C.②④③①⑤D.②⑤④③①[答案]D[解析]对两个变量进行回归分析时,首先收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图的形状,判断线性相关关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后依据所求出的回归直线方程作出解释;故正确顺序是②⑤④③①故选D.线性回归分析思维导航3.若y与x具有线性相关关系,其回归直线方程为y^=b^x+a^,则预报值y^与真实值y误差大好还是小好?由于误差值有正有负,直接取其和求平均值正负抵消不能准确反映其误差的大小,怎么解决这个问题?新知导学4.随机误差(1)随机误差的概念:当样本点散布在某一条直线的附近,而不是在一条直线上时,不能用一次函数y=bx+a来描述两个变量之间的关系,而是用线性回归模型________________来表示,这里__________称为解释变量,__________称为预报变量,__________称为随机误差,E(e)=__________,D(e)=__________.y=bx+a+exye0σ2(2)随机误差及其产生的原因从散点图中我们可以看到,样本点散布在某一条直线附近,而不是在一条直线上,所以不能用一次函数y=bx+a来描述它们之间的关系,我们用下面的线性回归模型来表示:y=bx+a+e,其中a、b为模型的未知数,e称为随机误差.产生随机误差的主要原因有以下3个方面:①用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的,通常我们并不知道真实模型是什么)所引起的误差.可能存在非线性的函数能更好地描述y与x之间的关系,但是现在却用线性函数来表述这种关系,结果会产生误差.这种由模型近似所引起的误差包含在e中.②忽略了某些因素的影响.影响变量y的因素不只变量x,可能还包括其他许多因素(例如在描述身高和体重关系的模型中,体重不仅受身高的影响,还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响),它们的影响都体现在e中.③观测误差.由于测量工具等原因,导致y的观测值产生误差(比如一个人的体重是确定的数,但由于测量工具的影响和测量人技术的影响可能会得到不同的观测值,与真实值之间存在误差),这样的误差也包含在e中.5.残差对于样本点(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn),其回归方程为y^=b^x+a^,用y^作为回归模型y=bx+a+eEe=0,De=σ2中bx+a的估计值,随机误差ei=yi-bxi-a的估计值e^i=__________(i=1,2,…,n),称为相应于点(xi,yi)的残差.6.残差图以__________为纵坐标,__________(或身高数据,或体重的估计值等)为横坐标作出的图形,称为残差图.yi-b^xi-a^残差样本编号7.残差分析(1)在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用线性回归模型来拟合数据,然后,通过残差__________________来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析.e^1,e^2,…,e^n(2)在残差图中,如果残差点比较均匀地落在__________________中,说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度__________,回归方程的预报精度也__________.如果图中有某个样本点的残差比较大,需要确认在采集这个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因.水平的带状区域越高越高8.正确理解预报变量的变化与解释变量和随机误差的关系预报变量的变化程度可以分解为解释变量引起的变化程度与随机误差e的变化程度之和.为了衡量回归直线方程y^=b^x+a^的拟合效果,作残差e^i=yi-y^i其中(xi,yi)为观测到的样本点,y^i=b^xi+a^是由回归模型得到的值,残差图的带状区域越窄,模型的拟合精度就越高,由回归方程作出的预报精度就越高.模型的拟合效果,通过相关指数R2来刻画.在线性回归模型中,R2表示解释变量对预报变量变化的__________.R2越接近于1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强;反之,R2越小,说明随机误差对预报变量的效应越大.相关指数R2的计算公式是R2=1-∑ni=1yi-y^i2∑ni=1yi-y2.贡献率R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果(即回归效果)越__________.在含有一个解释变量的线性模型中,R2恰好等于____________的平方.好相关系数r牛刀小试2.(2015·福建理,4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y^=b^x+a^,其中b^=0.76,a^=y-b^x.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元[答案]B[解析]考查线性回归方程.由已知得x=8.2+8.6+10.0+11.3+11.95=10(万元),y=6.2+7.5+8.0+8.5+9.85=8(万元),故a^=8-0.76×10=0.4.所以回归直线方程为y^=0.76x+0.4,社区一户年收入为15万元家庭年支出为y^=0.76×15+0.4=11.8(万元),故选B.3.(2015·武汉市重点中学高二期末)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:年龄2327394145495053565860脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.631.433.535.2通过计算得到回归方程为y^=0.577x-0.448,利用这个方程,我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%,那么数据20.90%的意义是()A.某人年龄37岁,他体内脂肪含量为20.90%B.某人年龄37岁,他体内脂肪含量为20.90%的概率最大C.某人年龄37岁,他体内脂肪含量的期望值为20.90%D.20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计[答案]D[解析]利用回归方程y^=0.577x-0.448,可得x=37时,y^=20.901,即到年龄37岁时体内脂肪含量约为20.90%,故20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计,故选D.[点评]本题考查的知识点是线性回归方程,熟练掌握并正确理解回归分析的实际意义,是解答的关键.4.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1和l2,已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,那么下列说法正确的是()A.l1和l2有交点(s,t)B.l1与l2相关,但交点不一定是(s,t)C.l1与l2必定平行D.l1与l2必定重合[答案]A[解析]由题意知(s,t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心,而线性回归直线恒过样本点的中心,故选A.5.(2014·天门市调研)下图是根据变量x、y的观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)得到的散点图,由这些散点图可以判断变量x、y具有相关关系的图是()A.①②B.①④C.②③D.③④[答案]D[解析]根据散点图中点的分布情况,可判断③④中的变量x,y具有相关的关系.典例探究学案关于两个变量x和y的7组数据如下表所示:变量间的相关性检验x21232527293235y711212466115325试判断y与x是否线性相关.[解析]x-=17(21+23+25+27+29+32+35)≈27.4,y-=17(7+11+21+24+66+115+325)≈81.3,i=17x2i=212+232+252+272+292+322+352=5414,i=17xiyi=21×7+23×11+25×21+27×24+29×66+32×115+35×325=18542.i=17y2i=72+112+212+242+662+1152+3252=124393,∴r=i=17xiyi-7x-y-i=17x2i-7x2i=17y2i-7y2=18542-7×27.4×81.35414-7×27.42×124393-7×81.32≈2948.663520.92=0.8639.由于r=0.86390.75,∴x与y具有线性相关关系.[方法规律总结]变量间是否具有线性相关关系,可通过散点图或相关系数作出判断,散点图只是粗略作出判断,用相关系数能够较准确的判
本文标题:2015-2016学年高中数学 3.1回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修2-3
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