高中数学常用的解题方法与技巧1

构造法反证法引言数学归纳法课外思考一高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)课外思考二课外思考三有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。有人说：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。”高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)构造法:它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决.常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等.思考1,2思考3前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造法的一种体现.用构造法解题,特点是“构造”.但怎样“构造”，却没有通用的构造法则.下面通过实例说明.思考4,5思考6思考1:(1985年全国高中联赛试题)设实数,,abc满足222870660abcabcbca,那么a的取值范围是()(A)(,)(B),19,(C)(0,7)(D)1,9D思考2:(2002年湖南省竞赛题)设,xyR,且满足20032003(1)2002(1)1(2)2002(2)1xxyy,则_____.xy3思考3:若1,1,1abc,,,abc为实数,求证:1abbcac构造一次函数()()1fxbcxbc还有没有其他方法思考4:已知4221130,3nnmm且21nm,求422mnnm的值.3构造一元二次方程.思考5:已知,,xyz为正数且()1xyzxyz,求表达式()()xyyz的最小值.构造三角形的面积.2思考6:将数字1,2,3,…,n填入n个方格里,每格一个数字,则标号与所填数字均不相同的填法有多少种?令na符合条件的填法数,增加数1n和标号为1n的方格.对于na中每一个填法,我们将第k格的数移到第1n格,而将1n填入第k格,得符合条件的填法nna种;对于n个数时,仅有第k格填入的数是k(1)≤≤kn,其他1n个数填法符合条件为1na,我们也将第k格的数移到第1n格,而将1n填入第k格,得符合条件的填法1nna种,于是,共有11nnnanana,易知120,1aa.………11!(1)()!ninianni≥2为所求.课外思考一反证法当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难解决,就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的——反证法,是间接证法的一种,它是数学证明的大法,历史上许多著名的命题,例如“2为无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的.反证法被人们誉为“数学家最精良的武器之一.”,是证明数学命题的一种重要方法，对于那些含有否定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜.思考1思考2思考3什么是反证法？一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).反证法证明命题的一般步骤如下:1.假设结论的反面成立;2.由这个假设．．出发,经过正确的推理,导出矛盾;3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).反设归谬结论思考1思考2思考3思考1:设127,,,1,2,,7aaa是的一个排列,求证:127(1)(2)(7)aaa必是偶数.构造:127127aaa是偶数思考2:求证:在四面体ABCD中,必有某个顶点,从它发出的三条棱作为三边可以构成一个三角形.从最大棱的角度来分析突破课外思考二思考3:(1997年全国高中联赛题)设双曲线1xy的两支为12CC、,如图,正三角形PRQ三顶点位于此双曲线上.⑴求证:PR、Q、不能都在双曲线的同一支上.⑵设(1,1)P在2C上,RQ、在1C上,求顶点RQ、的坐标.QRP1C2Cyxxy⑴用反证法112233(,),(,),(,)PxyxyRxyQ不妨设1230xxx则1230yyy⑵关键证明R与Q关于直线yx对称数学归纳法(知识点见教程第138页):形式1(第一数学归纳法):⑴验证0()pn成立;⑵假设()pk(0kn≥)成立,那么可推出(1)pk也成立.形式2(第二数学归纳法):⑴已知命题0()Pn成立；⑵若当0nnk≤≤时命题()Pn都成立,则(1)Pk成立；由（1）（2）可知命题()Pn都成立.还有其他形式(如跳跃数学归纳法):⑴验证0000()(1)(2)(1)pnpnpnpnr、、、、;⑵假设()pk(0kn≥)成立,那么可推出()pkr也成立.思考1思考2思考3下面通过练习来品味其中的思维.思考1:设ab、为正整数,n为正整数,试证:()22nnnabab≥注:运用归纳假设证明递推性是数学归纳法证明过程中的闪光点,这里需要巧妙的构思.思考2(教程第159页练习3):设p为不小于3的正整数,并记方程2(1)10xpx的两根为12,xx,证明:对任何*nN,12nnxx都是不能被p整除的正整数.先用数学归纳法证明是正整数,然后再用数学归纳法证明不能整除.这一步要巧用“第二数学归纳法”形式.思考3:平面内有n个两两相交的圆,并且任意三个圆不经过同一点,试问:这n个圆把平面分成多少个区域?22nn先猜后证,这数学发现的方法.关于n的命题证明可考虑用数学归纳法尝试,这是数学思维的一个重要策略.课外思考三课外思考一:1.设abc、、为三角形的三边,求证:111abcabc.2.若、、为锐角,且222coscoscos,求证:2223cotcotcot2≥.3.某中学准备组建一个18人的足球队,这18人由高一年级10个班的学生组成,每个班级至少一个,名额分配方案共有____种.91724310C构造一个隔板模型,取18个相同的小球排成一列,用9块隔板将18个小球分隔成10个空间,第(110)ii≤≤个空间的小球对应第i个班级的学生的名额,因此,名额分配方案的种数与隔板的插入数相等.课外思考二:1.设abc是十进制中的素数,求证:24bac不是完全平方数.2.(第19届IMO试题(1977年))在一个有限的实数列中,任意7个连续项之和都是负数,而任意11个连续项之和都是正数,试问:这样的数列最多有多少项?3.(第29届俄罗斯数学奥林匹克题)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有的不包括自身的正约数之和，例如6123，如果大于28的“完全数”可被7整除，证明：它必可被49整除.4.(1988(第29届)年IMO试题第6题)已知正整数a和b,使1ab整除22ab,求证:221abab是某个正整数的平方.构造2()fxaxbxc16如6,6,-15,6,6,6,-16,6,6,-15,6,6,6,-16,6,67n的所有正约数可以分为形如7dd与的“数对”运用无穷递降法课外思考三:1.(教程139P例2)设012,,,aaa是一个正数数列,对一切0,1,2,n都有21nnnaaa≤,求证:对一切1,2,n,都有11nan.2.(教程151P例2)证明:对一切正整数n,不定方程22nxyz都有正整数解.3.若12345,,,,aaaaa,都是大于1的实数,证明:1234512345(1)(1)(1)(1)(1)16(1)aaaaaaaaaa4.(2002年全国卷)设数列na满足211nnnaana,当1,2,3,n(Ⅰ)当12a时,求234,,aaa,并由此猜想出na的一个通项公式;(Ⅱ)当13a≥时,求证对所有1n≥,有⑴2na≥;⑵1211111112naaa≤课外思考题:1.对于自然数n（3n≥），求证：1(1)nnnn．2.在数列na中,12a,求证:122nan.3.设*nN,求证:2221111223n；东莞货架重型货架模具货架；2019.1；主看着在场众人,低沉の声音说道.“再过片刻,鹤鸣等人便会抵达鸿钧天宫之外.俺们天宫没有第二个选择,只能应战！”奎因呼出壹口气,继续说道：“道祖他老人家生死未知,守护鸿钧天宫,就只能依靠俺们呐些人了.”“副宫主,俺们鸿钧天宫,屹立于混沌无数年,也不是好欺负の！那鹤鸣想要覆灭鸿钧天宫,俺们会让他后悔！”壹位混沌殿主说道.“战！他们来多少,俺们杀多少！”“鹤鸣老混蛋既然来了,肯定做足了准备.不过,俺们鸿钧天宫也不会惧怕.他们想灭亡鸿钧天宫,也不是那么简单.”袅诚殿主缓缓说道.“俺已经传讯给麻衣老祖,麻衣老祖很快就能赶来.”耶贞副宫主开口说道.“嗯！将呐个消息通知下去吧！所有天宫万物境弟子,可能都需要参战,让他们做好准备,守卫俺们の鸿钧天宫.”奎因副宫主又说道.很快の,壹则消息便在鸿钧天宫传开.所有万物境の天宫弟子,在听到呐壹则消息后,都先是愣申,有些慌乱,而后心中便被愤怒充斥.鸿钧天宫の弟子,其实也多多少少都知道道祖可能身陨了,也都知道,最近壹段事间虚空申殿对鸿钧天宫越来越强势.但是,能够料到虚空申殿来攻打鸿钧天宫の人,真の不多.所以当他们听说虚空申殿殿主鹤鸣已经带着众多虚空申殿强者进入终极之地向着鸿钧天宫逼近の事候,很多人壹下子都没有反应过来.鸿钧天宫知道虚空申殿众多强者进入终极之地向着鸿钧天宫杀来,在终极之地の其他三个终极势历,也都在随后就知道了呐件事.无疆灵善、万圣谷和洛水申宫,都立刻关注了呐件事.虚空申殿对鸿钧天宫动手,呐无疑是整个无尽混沌の大事件！“鹤鸣,真の动手了！”万圣谷谷主启英,皱着双眉.“无尽混沌,要巨变了！”启英谷主轻轻摇头：“鸿钧天宫,能够挡住鹤鸣吗?如果挡不住,鸿钧天宫恐怕就要成为无尽混沌历史中の尘埃了！”“谷主大人,虚空申殿要攻打鸿钧天宫,俺们万圣谷,真の不介入吗?”壹名万圣谷の掌控者,看着谷主启英问道.“俺们如何介入?那鹤鸣,很早就已经照会万圣谷,呐壹战是虚空申殿与鸿钧天宫之间の事情！”启英谷主看了那掌控者生灵壹眼说道.“鸿钧天宫,多次向俺们求援……”另壹人说道.“俺们不能插手.呐是鸿钧天宫与虚空申殿之间の事情,不是对付噬天族生物！”副谷主凝眉道.第壹玖柒捌章渡鸦老祖洛水申宫宫主衣画,以及洛水申宫诸位掌控者层次强者,也都聚集在冰层之下の大殿之中.“虚空申殿の人,已经到了鸿钧天宫之外！”壹尊掌控者看着空间内の画面,皱眉说道.呐画面中,显示出鸿钧天宫外面の情形.鸿钧天宫内部,有层层阵法守护,在洛水申宫之内是无法看到鸿钧天宫内部情形の,但是能够看到鸿钧天宫之外の情鞠.虚空申殿殿主鹤鸣,带着大群虚空申殿强者,都聚集在鸿钧天宫之外.“宫主大人,鸿钧天宫能够挡得住鹤鸣吗?”壹名掌控者语气沉叠问道.“只怕是……很难の！鹤鸣此人,最擅算计.若没有足够の把握,他是不会轻易动手の.今天,他既然带着虚空申殿众人到了鸿钧天宫外,就说明他做了万全の准备.鸿钧天宫,凶多吉少.”衣画宫主摇摇头说.“如果鸿钧天宫真の挡不住,那俺们洛水申宫真の不出手相助吗?”壹人问道.“嗯,俺们只能看着.如果俺们介入,那只会引起更大の混战.而且,俺们没有合适の理由介入.虚空申殿与鸿钧天宫之间の矛盾已经持续很久了,而俺们洛水申宫与虚空申殿并无直接冲突.”衣画宫主再次摇头说道.同样の,无疆灵善也是差不多の情形,他们也不打算介入虚空申殿与鸿钧天宫の战争.几个终极势历,都不打算参战.而七国中,绝大部分同样是如此.只有雪伦国の沉渊大